Дифференциальные уравнения. Алгоритмы решения. Вторая часть

Василиса Волконская

Дифференциальные уравнения. Алгоритмы решения. Вторая часть

Содержание:

1) Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Алгоритм решения.

2) Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

3) Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка. Алгоритм решения.

4) Примеры решения неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.

5) Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных). Алгоритм решения.

6) Уравнение в полных дифференциалах. Алгоритм решения.

7) Примеры решения уравнений в полных дифференциалах.

1)) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами бывают:

1) Однородные.

2) Неоднородные.

1) Однородные уравнения выглядят так:

С левой стороны стоит сумма зависимой переменной (у) с коэффициентом, её производной (y ') с коэффициентом, и её второй производной (y '') с коэффициентом; а с правой стороны стоит ноль.

Алгоритм решения однородных линейных уравнений второй степени с постоянными коэффициентами, с примерами.

Для того чтобы решить однородные линейные уравнения второй степени с постоянными коэффициентами, нужно:

1. Составить характеристическое уравнение.

Примеры.

а) y '' - 5y ' + 6y = 0

б) y '' - 4y ' = 0

в) y '' - 25 y = 0

г) y '' + 2y ' + y = 0

д) 3 y '' = 0

е) y '' + 2y ' + 5y = 0

ж) y '' + 9 y = 0

При составлении характеристического уравнения, нужно производную второго порядка заменить на k ², производную первого порядка заменить на k, а у функции оставить только коэффициент.

y '' = k ²

y ' = k

y = 1

а) k ² - 5 k + 6 = 0

б) k ² - 4 k = 0

в) k ² - 25 = 0

г) k ² + 2 k + 1 = 0

д) 3 k ² = 0

е) k ² + 2 k + 5 = 0

ж) k ² + 9 = 0

2. Определить вид характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение - это квадратное уравнение.

Оно может быть полным или неполным.

Оно может иметь:

1) Два различных действительных корня.

2) Два одинаковых действительных корня.

3) Два различных комплексных корня.

В зависимости от этого появляются три вида однородных линейных уравнений второй степени с постоянными коэффициентами.

1) Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, тогда D > 0.

Если оно полное, имеющее два различных действительных корня, то оно выглядит так:

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q > 0

k1 = (- p + √D) / 2m

k2 = (- p - √D) / 2m

Неполное уравнение выглядит так:

1) m k ² ± p k = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q = 0

k (m k ± p)= 0

k = 0

m k ± p= 0

m k = ± p

k = ± p / m

2) m k ² - q = 0

m ≠ 0 p = 0 q < 0

m k ² = q

k ² = q / m

k1 = √(q / m)

k2 = - √(q / m)

а) k ² - 5 k + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

k1 = (5 + 1) / 2 = 3

k2 = (5 - 1) / 2 = 2

б) k ² - 4 k = 0

k (k - 4) = 0

k = 0

k = 4

в) k ² - 25 = 0

k ² = 25

k1 = 5

k2 = - 5

2) Если характеристическое уравнение имеет один действительный корень или два совпадающих корня, то полное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q = 0

k1 = (- p + √0) / 2m = - р / 2m

Неполное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² = 0

m ≠ 0 p = 0 q = 0

k ² = 0

k = 0

г) k ² + 2 k + 1 = 0

D = 4 - 4 = 0

k = - 2 / 2 = - 1

д) 3 k ² = 0

k ² = 0

k = 0

3) Если характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня, то полное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q < 0

k1 = (- p + √(- D)) / 2m = α + β i

k2 = (- p - √(- D)) / 2m = α - β i

Неполное квадратное уравнение выглядит так:

m k ² + q = 0

m ≠ 0 p = 0 q > 0

m k ² = - q

k ² = - q /m

k1 = √(- q /m) = 0 + β i = β i

k2 = - √(- q /m) = 0 - β i = - β i

е) k ² + 2 k + 5 = 0

D = 4 - 20 = - 16

k1 = (- 2 + √(- 16)) /2 = (- 2 + 4 i) / 2 = - 1 + 2 i

k2 = (- 2 - √(- 16)) / 2 = (- 2 - 4 i) / 2 = - 1 - 2 i

ж) k ² + 9 = 0

k ² = - 9

k 1 = √(- 9)

k 2 = - √(- 9)

k 1 = 3 i

k 2 = - 3 i

3. Для каждого вида уравнения нужно найти решение.

Если два различных действительных корня, то для полного квадратного уравнения решение однородного дифференциального уравнения, вычисляется по формуле:

m у '' + p у ' + q у = 0

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q > 0

k1 = (- p + √D) / 2m

k2 = (- p - √D) / 2m

Где k1; k2 действительные корни квадратного уравнения.

Для неполного квадратного уравнения, решение однородного дифференциального уравнения, вычисляется по формуле:

m у '' + p у ' = 0

m k ² ± p k = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q = 0

k (m k ± p)= 0

k1 = 0

m k ± p= 0

m k = ± p

k2 = ± p / m

Один корень характеристического уравнения равен нулю.

где k2 корень характеристического уравнения неравный нулю.

m у '' + q у = 0

m k ² - q = 0

m ≠ 0 p = 0

q < 0 m > 0;

q > 0 m < 0

m k ² = q

k ² = q / m

k1 = √(q / m)

k2 = - √(q / m)

Где k1; k2 противоположные корни квадратного характеристического уравнения.

а) y '' - 5 y ' + 6 = 0

k ² - 5 k + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

k 1 = (5 + 1) / 2 = 3

k2 = (5 - 1) / 2 = 2

б) y '' - 4 y ' = 0

k ² - 4 k = 0

k (k - 4) = 0

k = 0

k = 4

в) y ''- 25 = 0

k ² - 25 = 0

k ² = 25

k1 = 5

k2 = - 5

Если один действительный квадратный корень или два совпадающих действительных корня, решение однородного уравнения вычисляется по формуле:

Полное квадратное уравнение.

m у '' + p у ' + q у = 0

m k² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q = 0

k1 = (- p + √0) / 2m = - р / 2m

Неполное квадратное уравнение.

m у '' = 0

m k ² = 0

m ≠ 0 p = 0 q = 0

k ² = 0

k = 0

г) y '' + 2 y ' + 1 = 0

k ² + 2 k + 1 = 0

D = 4 - 4 = 0

k = - 2 / 2 = - 1

д) 3 y '' = 0

3 k ² = 0

k ² = 0

k = 0

Если два различных комплексных корня, то решение однородного уравнения, вычисляется по формуле:

Полное квадратное уравнение.

m у '' + p у ' + q у = 0

m k ² + p k + q = 0

m ≠ 0 p ≠ 0 q ≠ 0

D = p ² - 4 m q < 0

k1 = (- p + √(- D)) / 2m = α + β i

k2 = (- p - √(- D)) / 2m = α - β i

Неполное квадратное уравнение.

m у '' + q у = 0

m k ² + q = 0

m ≠ 0 p = 0

q > 0 m > 0;

q < 0 m < 0

m k ² = - q

k ² = - q /m

k 1 = √(- q /m) = 0 + β i = β i

k 2 = - √(- q /m) = 0 - β i = β i

е) y '' + 2 y ' + 5 = 0

k ² + 2 k + 5 = 0

D = 4 - 20 = - 16

k1 = (- 2 + √(- 16)) /2 = (- 2 + 4) / 2 = - 1 + 2 i

k2 = (- 2 - √(- 16)) / 2 = (- 2 - 4) / 2 = - 1 - 2 i

ж) y '' + 9 = 0

k ² + 9 = 0

k ² = - 9

k 1 = √(- 9)

k 2 = - √(- 9)

k 1 = 3 i

k 2 = - 3 i

y = C1 sin 3x + C2 cos 3x

4) записать ответ.

Для дифференциальных уравнений с действительными корнями, общее решение однородного уравнения, записываются в показательной форме.

Для дифференциальных уравнений с комплексными корнями, общее решение одного уравнения, записывается в тригонометрической форме.

Запишем в табличку всё, что нужно запомнить для решения дифференциального однородного уравнения с постоянными коэффициентами второй степени.

2)) Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка (Звёздочка - это x).

Пример один.

y '' + y ' - 2y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² + k - 2 = 0

D = 1 + 4 × 2 = 9 = 3 ²

k1 = (- 1 + 3) / 2 = 1

k2 = (- 1 - 3) / 2 = - 2

Ответ: Y = C1 e * + C2e ⁻²*

Пример два.

y '' - 4 y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² - 4 = 0

k ² = 4

k1 = 2

k2 = - 2

Ответ: y = C1 e ²* + C2 e ⁻²*

Пример три.

y '' - 9 y ' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² - 9 k = 0

k (k - 9) = 0

k1 = 0

k - 9 = 0

k2 = 9

Ответ: y = C1 + C2 e ⁹*

Пример четыре.

y '' - 4 y ' + 4 = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² - 4 k + 4 = 0

D = 16 - 16 = 0

k = 4 / 2 = 2

Ответ: y = C1 e ²* + C2 x e ²*

Пример пять.

8y '' = 0

Составим характеристическое уравнение.

8 k ² = 0

k ² = 0

k = 0

Ответ: y = C1 + C2 x

Пример шесть.

y '' + y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² + 1 = 0

k ² = - 1

k1 = √(- 1)

k1 = i

k2 = - √(- 1)

k2 = - i

Ответ: y = C1 sin x + C2 cos x

Пример семь.

y '' + 6y ' + 13y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ² + 6 k + 13 = 0

D = 36 - 52 = - 16

k1 = (- 6 + √(- 16)) / 2 = - 3 + 2 i

k2 = (- 6 - √(- 16)) / 2 = - 3 - 2 i

Ответ: y = C1 e ⁻³* sin 2x + C2 e ⁻³* cos 2x

Пример восемь.

4y '' - 8y ' + 5y = 0

Составим характеристическое уравнение.

4 k ² - 8 k + 5 = 0

D = 64 - 80 = - 16

k1 = (8 + √(- 16)) / 8 = (8 + 4 i) / 8 = 1 + 1/2 i

k2 = (8 - √(- 16)) / 8 = (8 - 4 i) / 8 = 1 - 1/2 i

Ответ: y = C1 e * sin 1/2 x + C2 e * cos 1/2 x

Пример девять.

y ''' - 5y '' + 4y ' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ³ - 5 k ² + 4 k = 0

Получим кубическое уравнение.

Вынесем k за скобку.

k (k ² - 5 k + 4) = 0

k = 0

k ² - 5 k + 4 = 0

D = 25 - 16 = 9 = 3 ²

k1 = (5 + 3) / 2 = 4

k2 = (5 - 3) / 2 = 1

Ответ: y = C1 + C2 e ⁴* + C3 е *

Если уравнение кубическое, то добавляется ещё одно слагаемое.

Пример десять.

y ''' + 9 y ' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ³ + 9 k = 0

Получим кубическое уравнение.

Вынесем k за скобку.

k (k ² + 9) = 0

k = 0

k ² + 9 = 0

k ² = - 9

k1 = √(- 9)

k1 = 3 i

k 2 = - √(- 9)

k2 = - 3 i

Это уравнение с комплексными корнями.

Ответ: y = C1 + C2 sin 3x + C3 cos 3x

Это смешанное уравнение один корень действительный и два комплексных. Следовательно

Пример одиннадцать.

y ''' - 13y ' + 12y = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ³ - 13 k + 12 = 0

Получим кубическое уравнение, у которого нельзя вынести k за скобку.

Будем подбирать корни по схеме Горнера и теореме Безу.

12: ± 1; ±2; ±3; ±4; ±12; ±6

Подставим единицу.

1 - 13 × 1 + 12 = 0

- 12 + 12 = 0

0 = 0

Получим верное равенство.

Найдём корень k = 1

Поделим уголком многочлен на многочлен k - 1.

Решим оставшееся квадратное уравнение.

k ² - 12 = 0

D = 1 + 48 = 49 = 7 ²

k2 = (- 1 + 7) / 2 = 3

k3 = (- 1 - 7) / 2 = - 4

Ответ: у = C1 e * + C2 e ³* + C3 e ⁻⁴*

Пример двенадцать.

y '''' + 2y ''' + y '' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ⁴ + k ³ + k ² = 0

Получим уравнение четвёртой степени.

Вынесем k ² за скобку.

k ² (k ² + k + 1) = 0

k ² = 0

k = 0 (парный корень).

k ² + k + 1 = 0

D = 1 - 4 = - 3

k2 = (- 1 + √(- 3)) / 2 = - 1/2 + √3 i / 2

k3 = (- 1 - √(- 3)) / 2 = - 1/2 - √3 i / 2

Получим два действительных одинаковых корня и два комплексных корня.

Ответ: y = C1 + C2 x + C3 e ⁻¹ʹ²* sin (√3 / 2) x + C4e ⁻¹ʹ²* cos (√3 / 2) x

Получили формулу.

Пример тринадцать.

y ''''' - 6 y '''' + 9 y ''' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ⁵ - 6 k ⁴ + 9 k ³ = 0

Получим уравнение пятой степени.

Вынесем за скобку тройной корень.

k ³ (k ² - 6 k + 9) = 0

k ³ = 0

k = 0 (тройной корень, одинаковый).

k ² - 6 k + 9 = 0

D = 36 - 36 = 0

k = 6 / 2 = 3 (парный корень, одинаковый).

Ответ: y = C1 + C2 x + C3 x ² + C4 e ³* + C5 x e ³*

Пример четырнадцать.

y '''' - 5 y '''- 6 y '' = 0

Составим характеристическое уравнение.

k ⁴ - 5 k ³ - 6 k ² = 0

Получим уравнение четвёртой степени.

Вынесем за скобку парный одинаковый корень.

k ² (k ² - 5 k - 6) = 0

k ² = 0

k = 0 (парный корень, одинаковый).

k ² - 5 k - 6 = 0

D = 25 + 24 = 49 = 7 ²

k2 = (5 + 7) / 2 = 6

k3 = (5 - 7) / 2 = - 1

Ответ: y = C1 + C2 x + C3 e ⁶* + C4 e **

Получим формулу.

При решении однородных уравнений более высших порядков, чем второй, можно комбинировать формулы, и получается столько слагаемых, какая степень уравнения.

После решения примеров можно обобщить вид однородных линейных уравнений.

В однородном уравнении с левой стороны стоит сумма, зависимой переменной со своим коэффициентом и её производных со своими коэффициентами.

Некоторые коэффициенты могут равняться нулю, тогда пропадает слагаемое.

Степень однородного уравнения считается по самой большей производной.

Характеристическое уравнение составляется по производным.

Самая большая производная будет самой большой степенью характеристического уравнения.

А сама зависимая переменная будет равняться единице.

В ответе должно быть такое количество слагаемых с константами C, какая степень однородного уравнения.

Они могут быть всякие, в зависимости от вида однородного уравнения.

Слагаемые комбинируются между собой, комплексные и действительные слагаемые складываются.

Если корни действительные, то слагаемые записываются в показательной форме.

Если корни комплексные, то слагаемые записываются в тригонометрической форме.

Констант С должно быть столько, сколько производных в уравнении.

Их количество считается по большей производной.

3)) Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка.

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка выглядят так:

С левой стороны записано однородное уравнение. А с правой стороны стоит функция отличная от нуля.

Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами делятся на два вида:

1) В правой части уравнения записана показательная функция, умноженная на многочлен.