Решение 15 11в-20в задач ЕГЭ. Математика, профиль ФИПИ, 36 вариантов, 2027

Сергей Воронов

Решение 15 11в-20в задач ЕГЭ. Математика, профиль ФИПИ, 36 вариантов, 2027

Глава 1

15-11-2027

В пирамиде SABCD с высотой SA основанием является квадрат ABCD, точка К середина ребра SB. Прямая DK пересекается с плоскостью SAC в точке N.

а) Докажите, что прямая а, проходящая через точку N параллельно прямой SC, делит диагональ основания АС в отношении 1:2.

б) Найдите угол между прямыми DK и SC, если АВ = 2, SA = 6.

Решение.

а) В треугольнике BSD отрезки DK и SO являются медианами, а точка N – точка пересечения медиан. Значит, ON: NS =1:2 Обозначим пересечение прямой а с прямой АС точкой Р. Прямые а и SC параллельны, значит, по теореме Фалеса (для угла SOC) получаем: OP:PC = ON:NS = 1:2, откуда СР:РА = 2РО:4РО = 1:2.

б) Прямые SC и NP параллельны, значит, угол между прямыми DK и SC равен углу между прямыми DK и NP, то есть равен углу PND (или смежному с ним).

Точка N1 – проекция точки N на плоскость АВС.

NNl =ON· AS/OS =OS/3 = 2, ON1=ON·OA/OS=OA/3;

Глава 2

15-12-2027

В пирамиде SABCD с высотой SA основанием является квадрат ABCD, точка К середина ребра SB. Прямая DK пересекается с плоскостью SAC в точке N.

а) Докажите, что прямая а, проходящая через точку N параллельно прямой SC, делит ребро SA в отношении 1:2.

б) Найдите угол между прямыми DK и SC, если АВ = 2, SA = 3.

Решение.

а) В треугольнике BSD отрезки DK и SO являются медианами а точка N — точка пересечения медиан. Значит, ON:NS =1:2 Обозначим пересечение прямой a с прямой АС точкой Р. Прямые а и SC параллельны, значит, по теореме Фалеса (для угла SOC) получаем: OP : PC = ON : NS = 1:2, откуда СР : РА = 2РО:4РО = 1:2.

И по теореме Фалеса (о пропорциональных отрезках) для угла SAC => СР : РА =

=SR : RA = 1:2, R есть пересечение PN и AS.

б) Прямые SC и NP параллельны, значит, угол между прямыми DK и SC равен углу между прямыми DK и NP то есть равен углу PND (или смежному с ним). Точка N1 проекция точки N на плоскость АВС.

NN1 = ON·AS/OS = AS/3; ON1 = ON·OA/OS = OA/3.