Время переменных. Математический анализ в безумном мире

скачать книгу бесплатно


Бросьте «астрояблоко» с высоты, на которой находится Луна, и за первую секунду оно переместится чуть больше чем на один миллиметр. Это толщина прекрасной во всех отношениях кредитной карты.

В те времена движение Луны по орбите оставалось тайной. Считалось, что лучше всего его объясняет вихревая теория Рене Декарта, согласно которой все небесные объекты следуют своими маршрутами благодаря кружащимся, как в водовороте, потокам частиц, словно игрушки в ванне, устремляющиеся к сливу, когда из него вынимают пробку. Но наступило время перемен – annus mirabilis Ньютона, его «чудесный год», который «чудесным» же образом растянулся на 18 месяцев. Пережидая в Вултсорпе, у матери, эпидемию чумы, свирепствовавшей в Лондоне, Ньютон разработал идеи, которые легли в основу современной математики и физики. Он сформулировал законы движения, раскрыл оптические секреты призмы, не забывал обращать внимание на предметы быта и изобрел математический анализ.

А заодно, благодаря падению яблока, сверг с пьедестала вихри Декарта.

Как знал предшественник и брат Ньютона по духу Галилей, горизонтальное движение не влияет на вертикальное. Оставьте одно яблоко падать строго вертикально, а другое точно такое же яблоко киньте горизонтально в любую сторону, и они ударятся о землю в один и тот же момент. Разумеется, их горизонтальные траектории разойдутся, но вертикальное движение определяется одной и той же единовластной силой – притяжением.

Теперь поднимите свои яблоки на вершину очень высокой горы и бросьте их с силой супермена. Поздравляю! Вы попали в знаменитую иллюстрацию из шедевра Ньютона «Математические начала натуральной философии», демонстрирующую диковинные физические процессы падения с большой скоростью.

Здесь благодаря искривлению земной поверхности наше аккуратное разделение вертикального и горизонтального движения исчезает. То, что в один момент является горизонтальным, в другой становится вертикальным. Чем сильнее бросок, тем дольше продолжается падение.

Бросьте яблоко с силой, как это делает питчер Высшей бейсбольной лиги, и оно пролетит небольшое расстояние, прежде чем упасть на землю. Оно может добраться из точки А в точку В.

Бросьте яблоко по-настоящему сильно, как питчер «Ред Сокс» в сторону наглого игрока «Янкиз», и горизонтальное движение уведет фрукт от поверхности Земли, продлив падение. Возможно, он проделает весь путь до точки С.

Бросьте яблоко невообразимо сильно, как Генри Ровенгартнер[3 - Герой американского фильма «Новичок года» – бейсбольный игрок, который приобрел необычайную силу броска из-за травмы руки. – Прим. пер.] на стероидах, и оно полетит от Земли так быстро, что каждый момент падения будет просто возвращать яблоко на первоначальную высоту. Таким образом, яблоко сможет падать вечно.

Орбита – это всего лишь постоянное падение, и никакие картезианские[4 - «Картезианскими вихри» названы по латинизированной форме фамилии Декарта – Cartesius. – Прим. науч. ред.] вихри здесь не требуются.

Как все это работает с нашим отважным лунным яблоком? Ну, это задача для математического анализа, так что возьмем бесконечно малый момент – одну-единственную секунду путешествия. На таком коротком отрезке изогнутую линию орбиты можно считать прямой линией.

Здесь мы обозначим расстояние, которое пролетит яблоко, если будет подвергаться воздействию только силы притяжения.

А что теперь? Следующим шагом Ньютона было изящное геометрическое доказательство. Построим прямоугольный треугольник. Нам нужно узнать длину гипотенузы (самой длинной стороны). Поэтому впишем его в более крупный треугольник, сохраняющий те же пропорции.

Поскольку треугольники являются подобными, их стороны соотносятся одинаково:

Решив уравнение, получаем следующий ответ

Как вы помните, наше яблоко опускается с малой скоростью 1 мм/с – около 3 % скорости ленивца на поверхности земли. И тем не менее, чтобы удержать фрукт на орбите, мы должны запустить его со скоростью 1 км/с, что примерно в три раза больше скорости звука.

Казалось бы, невероятно, немыслимо! Луна падает как брошенное в сторону яблоко? Действительно, сэр Исаак? Можете ли вы подтвердить этот смешной мысленный эксперимент какими-либо – как это называется – доказательствами?

Ну, давайте прикинем время, за которое наше лунное яблоко сделает оборот по орбите вокруг Земли. На таком большом расстоянии ему придется пройти путь в 2,5 млн км по окружности. При движении со скоростью чуть больше 1 км/с сколько времени займет это путешествие?

Ха, вы только посмотрите на это! Наши расчеты совпали – с погрешностью менее 0,7 % – с периодом реальной лунной орбиты. Это удивительным образом подтверждает теорию Ньютона: Луна действительно падает, как огромное яблоко сорта «ред делишес» (и ее почти так же хочется съесть). Как заключил биограф Джеймс Глейк:

Яблоко само по себе ничего не значило. Оно представляло только половину пары – второй в ней была Луна… Яблоко и Луна сошлись при случайном стечении обстоятельств, создали обобщение, связали явления разного масштаба: близкое и далекое, обыкновенное и неизмеримое.

Теорию сэра Исаака трудно переоценить. Она определяет единственную универсальную силу, которая управляет земным и небесным королевствами, и порождает современный взгляд на реальность – механическая Вселенная, работающий как часы космос, подчиняющийся ясным, недвусмысленным и нерушимым законам, развиваясь от одного мгновения к другому.

Французский ученый Пьер-Симон Лаплас сказал об этом так: вообразите себе могучий ум, которому ведомы расположение всех предметов и мощность каждой силы. Подобный разум должен был бы знать все. «Ничего не было бы определенным, – сказал Лаплас, – а будущее, как и прошлое, стояли бы перед его глазами».

Весь мир – это дифференциальное уравнение, а все люди – всего лишь его переменные.

Не все приняли точку зрения Ньютона. Поэт Уильям Блейк не стал стесняться в выражениях и заявил: «Наука – это древо смерти». Писатель Алан Мур разъяснял: «Для Блейка границы мысли Ньютона были холодными каменными стенами внутреннего подземелья, куда заключено все человечество».

Сильно сказано!

Как бы то ни было, у Ньютона имелись полчища настоящих защитников. Перекрывая рекорды Александра Поупа («Был этот мир глубокой тьмой окутан. / Да будет свет! И вот явился Ньютон»[5 - Маршак С. Собр. соч. в 8 т. Т. 4. – М.: Художественная литература, 1969. – С. 94.]) и Уильяма Вордсворта («Тихое лицо / Как циферблат ума, что в одиночку / Плывет сквозь мысли странные моря»[6 - Шапиро А. Загадки старых мастеров / Пер. А. Шапиро.]), одним из самых яростных адвокатов Ньютона был философ и фанат науки Вольтер, который называл ученого «творческим духом», «нашим Христофором Колумбом» и (возможно, несколько перегибая палку) «божеством, которому я приношу жертвы». Именно Вольтеру мы обязаны одним из самых поэтических описаний математического анализа в истории: «искусство вычислять и измерять именно то, существование чего не может быть постигнуто», а также популярностью истории о яблоке, которое он поместил в центр интеллектуальных исканий ученого.

Если учесть, какой ореол мифов окутывает ее, насколько мы можем доверять сказке о яблоке?

«Эта история, разумеется, правда, – говорит Кейт Мур, глава архивов Королевского общества, – но, следует признать, ее можно было бы рассказать получше». Ньютон и сам подогревал интерес к этому случаю вместо того, чтобы честно рассказать о том, какими маленькими шажками и рывками наука постепенно движется к прогрессу. Не стоит забывать, что 15 лет он провел, совершенствуя свои теории, опираясь на работы Галилея, Евклида, Декарта, Валлиса, Гука, Гюйгенса и множества других ученых. Теории появляются на свет не просто так, у них есть корни. Они растут. В тот момент в нашем саду знаний еще не произросло полноценное понимание гравитации. Солнце только согрело своими лучами его первые ростки.

III

Радости полета бутерброда

Перебравшись в Англию и впервые переступив порог частной школы, насчитывающей 462 года истории, где я должен был стать преподавателем, я никак не мог поверить в свою удачу. Каждое утро учителя собирались в комнате отдыха и пили чай с бутербродами. Понятия «комната отдыха преподавателей» и «перерыв» уже были мне знакомы по прежнему месту работы. Но каждое утро бывать на пиру, словно в ожившей иллюстрации из жизни Хогвартса? «Я никогда к этому не привыкну», – говорил я своим новым коллегам.

Но я привык.

Ученые называют это ослаблением реакции на раздражитель. Это означает, что у меня было зрение, как у динозавра: хорошо натренированный замечать то, что движется, я не замечал всего, что неподвижно, даже если оно было намазано маслом. Возможно, это явление имеет объяснение с точки зрения эволюционной психологии, а может быть, я неблагодарная скотина, но в любом случае привыкание поддается систематизации с точки зрения математики. Мы растем, привыкая к функции, каких бы высот она ни достигала. С течением времени для того, чтобы привлечь наше внимание, требуется производная – ненулевая величина изменений. Только более новая новизна может захватить нас.

Однажды, налив чашку горячего чая и пережевывая кусок зернового хлеба (тьфу ты, а я думал, что взял белый!), я присел на диван рядом со своим другом Джеймсом, учителем английского.

– Как дела? – поприветствовал я его.

Джеймс воспринял этот дежурный вопрос так, как он принимал все: с полнейшей серьезностью.

– На этой неделе я счастлив, – ответил он. – С некоторыми вещами еще есть проблемы, но все становится лучше.

Очевидно, в первую очередь я являюсь учителем математики, а уже во вторую – человеческим существом, потому что на откровение своего друга я ответил следующим образом:

– То есть функция твоего счастья принимает средние значения, но первая производная является положительной.

Джеймс мог вырвать бутерброд из моей руки, выплеснуть свой чай мне в лицо и завопить:

– Наша дружба кончена!

Вместо этого он улыбнулся, наклонился и – клянусь вам, все так и было! – сказал:

– Звучит увлекательно. Объясни мне, что это значит.

– Ну, – начал я читать лекцию, – изобрази график изменения уровня своего счастья со временем. Линия проходит на средней высоте, но в данный момент поднимается – это и есть положительная производная.

– Понятно, – ответил он. – Значит, отрицательная производная означает, что дела идут хуже?

– Ну, – я увильнул от прямого ответа, – в каком-то роде.

Я демонстрировал педантичность, за которую математиков так любят. (Или правильно сказать «критикуют»?)

– Отрицательная производная означает, что значение уменьшается. Для некоторых функций – например, личного долга или физической боли – хотелось бы иметь отрицательную производную. Но в случае со счастьем – да, это не очень хорошо.

Это был довольно необычный первый урок по дифференциальному исчислению. Большинство студентов постигают эти идеи не с помощью зыбкой психологии функции «счастья», а через ясную и лаконичную физическую картину «положения». Например, обозначим положение велосипедиста на велодорожке как p. В начальной точке p = 0; через 800 м p = 0,8 км.

Что выражает здесь производная? То, как быстро p изменяется в определенный момент времени. Мы называем ее p? (произносится «p штрих») или (более наглядно) «скорость».

Большое значение p? – скажем, 14 м/с – означает, что положение изменяется быстро, скорость высока. Маленькое значение – к примеру, 0,6 м/с – говорит о низкой скорости. Если p? равно нулю, то положение не меняется вообще; велосипед стоит на месте. А если p? отрицательно, то мы движемся по дорожке назад: велосипедист сменил направление.

Из нашего первоначального графика (определяющего положение в каждый момент) мы можем вывести совершенно новый, определяющий скорость в каждый момент. Вот откуда взялось слово «производная» – она выводится, или производится.

Джеймс, умница, проникся математическим анализом так, будто это было неким видом инопланетной поэзии. Как учитель английского он был профессиональным исследователем языка и способности слов фиксировать человеческий опыт. В сухом языке производных он, кажется, нашел своеобразную «литературность».

– А есть еще и вторая производная, – сказал я.

Джеймс серьезно кивнул:

– Расскажи мне.

– Это производная производной, она говорит о том, как меняется величина изменений.

Джеймс нахмурился по вполне понятной причине: это была какая-то бессмыслица.

Я попытался снова.

– Производная – это величина улучшения твоего состояния. Вторая производная спрашивает: ты изменяешься все быстрее и быстрее? Или улучшение замедляется?

– Хм-м-м-м, – Джеймс прикусил губу. – Я бы сказал, что быстрее и быстрее. Значит, вторая производная… положительная, верно?

– Да!

– А если улучшение замедляется, – продолжил он, – тогда первая производная по-прежнему остается положительной, а вторая становится отрицательной.

– Да.

– Мне это нравится, – сказал Джеймс. – Я должен научить этому всех своих друзей. И когда они будут спрашивать, как мои дела, я смогу сообщать им о своем эмоциональном состоянии с помощью всего нескольких показателей.

– Что-то вроде: h положительная, h штрих отрицательная, h два штриха положительная?

– О-о-о, дай подумать! – Джеймс воспринял мое заявление как лингвистическую загадку, краткую и безыскусную форму записи. – Это означает… Я счастлив… И я становлюсь менее счастлив… Но снижение моего уровня счастья замедляется?

– Все верно.

Для выражения тонких оттенков эмоций этот язык может показаться неестественным или топорным, как заявления «Человек счастлив!» или «Человек грустит!». Но, как и все производные, это что-то вроде физической метафоры – аналогия движения через пространство.

Как мы уже видели на примере велосипеда, производной положения является скорость. А производная скорости? Это ускорение. (Его также можно назвать p??, или «p два штриха».)

Производные и вторые производные дают четкую информацию. Чтобы понять разницу, представьте себе ракету сразу после отрыва от земли, когда лица астронавтов расползаются, как желе. Скорость еще низкая, но изменения происходят быстро, поэтому ускорение высокое.

Может быть и обратная ситуация. Летящий на эшелоне самолет имеет высокую скорость, но она является постоянной и не меняется, поэтому ускорение равно нулю.