скачать книгу бесплатно
), соответствующий убывающей величине размера сбережений потребителей IC
> IС
> … > IC
. Каждое из значений N
есть число потребителей с указанным размером сбережений:
N
= #{j ?E|IC
(t) = IC
(t)}.
То есть имеется N1 потребителей с величиной сбережений IC
(самые обеспеченные), N2 потребителей с величиной сбережений IC
, и т. д., с убыванием значения IC. Как следует из определения, N
+ N
+ … + N
равно общему числу потребителей в E.
Определение 2. Назовем распределением количества товара по группам качества в момент t вектор M(t) натуральных чисел (M
, M
, …, M
) соответствующий убывающей величине уровня качества товара z
(t) > z
(t) > … > z
(t). Каждое из значений M
есть количество товара с указанным уровнем качества:
То есть имеется товара в количестве M
с уровнем качества z
(t) (самый качественный товар), товара в количестве M
с уровнем качества z
(t) и т. д., с убыванием значения z. Как следует из определения, M
+ M
+ … + M
равно общему количеству товара, произведенному в текущем такте
.
Пусть p ? s, тогда примем следующее определение.
Определение 3. Будем говорить, что распределение количества товара по группам качества сегментировано, если для соответствующего ему вектора (M
, M
, …, M
) и вектора распределения совокупного размера сбережений потребителей (N
, N
, …, N
) выполнено условие:
M
= N
, M
= N
, …, M
= N
.
Теорема. При фиксированном распределении совокупного размера сбережений потребителей N(t) значение GDP(t) в (5) достигает максимума тогда и только тогда, когда распределение количества товара по группам качества M(t) сегментировано.
Схема доказательства
Для удобства доказательства далее будем представлять сумму (5) как сумму ненулевых слагаемых, упорядоченных по убыванию, где каждое слагаемое соответствует цене IC, которую заплатил отдельный потребитель. Число слагаемых очевидно равно числу потребителей и фиксированно.
Необходимость. Предположим, что M(t) не сегментировано и GDP(t) достигает своего максимального значения. Тогда существует i, 1 ? i ? s такой, что M
= N
, …, M
? N
. Рассмотрим два случая:
M
< N
В данном случае число слагаемых в (5) со значением IC
меньше, чем для случая сегментированного M(t) (если бы M
= N
). В то же время число слагаемых со значениями IC > IC
такое же, а слагаемых со значениями IC < IC
больше – при одном и том же общем числе слагаемых. Следовательно, значение (5) в указанном случае меньше, чем в случае сегментированного M(t).
M
> N
В данном случае слагаемые в (5) со значением IC
не встретятся, вместо этого будет большее число слагаемых с IC < IC
. При фиксированном числе слагаемых значение (5) меньше, чем в случае сегментированного M(t).
Достаточность. Пусть M(t) сегментировано. В соответствии с алгоритмом покупки товара и в силу сегментированности M(t), в сумме (5) будет N
слагаемых с максимальным возможным значением IC
(число таких слагаемых уже нельзя увеличить, а можно только уменьшить, уменьшив общую сумму), N
слагаемых со значением IC
(их число также нельзя увеличить) и т. д. до N
слагаемых с значением IC
. Таким образом, получается, что сумма (5) принимает максимально возможное для себя значение.
Результаты работы имитационной модели
Сравнение результатов модели и предметных данных
Для соотнесения результатов имитационной модели и данных по странам проведем нормировку показателей средней компетентности I
в стране i и ВВП на душу населения D
для результатов, полученных с помощью имитационной модели и данных из работы (Lynn, Vanhanen, 2002):
На рисунке 2 проиллюстрированы два набора данных после нормировки:
• данные по реальным странам (слева), полученные из (Lynn, Vanhanen, 2002);
• данные имитационной модели (справа), полученные в момент модельного времени t = 25, когда характер зависимости, изображенной на рисунке 2, не меняется в течение более 10 тактов. Ниже, при расчетах параметров модели, рассматриваются данные на этом такте времени.
Визуально на рисунке 2 мы можем отметить наличие роста мат. ожидания и дисперсии D
при росте значения I
. Оценим статистически степень влияния фактора I
на D
отдельно по данным для стран из (Lynn, Vanhanen, 2002) и отдельно по данным, полученным в имитационной модели.
Рис. 2. Иллюстрация данных I
и D
, полученных из (Lynn, Vanhanen, 2002) (слева) и имитационной модели (справа)
Для оценки степени влияния I
на D
посредством однофакторного дисперсионного анализа проверим наличие статистической зависимости показателя D
от уровней фактора I
(групп различных значений) (Кобзарь, 2006). Разобьем значения I
на три равные непересекающиеся группы (три уровня фактора I
: «низкий», «средний» и «высокий»), сформируем три выборки значений D
для соответствующего уровня фактора I
. Рассчитаем уровень значимости p гипотезы Н
