скачать книгу бесплатно
он купил актив A, а на долю W
купил актив B, то этой покупкой инвестор зафиксировал количество активов A и B в своем портфеле. Так как цены этих активов могут изменяться, то в портфеле могут изменяться и доли финансов инвестора между активами A и B. Но количество купленных активов и их соотношение не меняются, так как инвестор ничего не продает из портфеля и ничего не докупает в свой портфель в течение M дней.
Так как доходность, это относительная величина и она не зависит от количества купленных активов, то доходность портфеля в m-й день линейно зависит от доходностей двух активов в m-й день с коэффициентами пропорциональности равными долям начального распределения средств инвестора по активам:
Подставив, это выражение в две последние формулы предыдущего раздела, получаем:
Здесь C
C
и C
, это элементы матрицы ковариаций доходностей (см. Приложение П.5.2) активов A и B.
Как уже говорилось выше, W
, это доля финансов, которая пошла на покупку актива A, а W
, это доля средств, которая была вложена в актив B. Эти доли принято называть весовыми коэффициентами или просто весами активов.
Все эти веса могут меняться только в пределах от 0 до 1:
Это правило выполняется не только, когда в портфеле всего 2 актива, но и когда в портфеле любое количество активов. Если вес какого-то актива равен нулю, то это означает, что в рассматриваемом портфеле данный актив отсутствует.
В теории отрицательные веса соответствуют шортовым продажам. В данной книге такие ситуации не рассматривается, так как книга посвящена не трейдингу, а инвестированию.
Сумма всех весов обязательно всегда должна быть равна единице:
Последнее условие называется условием нормировки на единицу.
Если вес какого-то актива равен 1, значит, веса всех других активов должны быть равны 0. То есть портфель состоит только из одного актива, а все другие рассматриваемые активы в нет отсутствуют.
По диагоналям ковариационной матрицы С всегда стоят дисперсии активов. Стандартные отклонения (риски) активов, это, как раз, корни квадратные из дисперсий. Значит, формулу риска для портфеля с двумя активами можно переписать так:
Связь коэффициента корреляции Corr
со взаимной ковариацией C
следующая (см. Приложение П.5.3):
Поэтому формулу для риска портфеля из двух активов, в общем случае, можно еще переписать так:
Посмотрим, какой будет риск портфеля с этими активами в зависимости от того, как коррелируют между собой доходности этих активов.
1.2.2.1. Коэффициент корреляции Corr=1
Пусть временные ряды доходностей активов A и B очень сильно коррелируют между собой с коэффициентом корреляции Corr
=1.0. В этом случае в формуле для риска под квадратным корнем получаем полный квадрат, и квадратный корень извлекается. И тогда общий риск портфеля с двумя сильно коррелированными активами будет:
Получается, что для сильно коррелирующих активов риск портфеля, это просто взвешенный риск его активов. На графике «Риск-Доходность» на рис. 5 в этом случае получаем портфели на черном отрезке между точками A и B. Каждая точка черного отрезка соответствует своему соотношению весовых коэффициентов W
и W
.
Например, если 50 % всех своих финансов инвестор вложит в актив A и 50 % в актив B, то получаем портфель, показанный черной точкой на черном отрезке. Эта точка лежит в середине черного отрезка. У такого портфеля с равными вложениями в 2 актива с нашими данными получились следующие средняя доходность <R> и средний риск S:
Теперь посмотрим на еще одном синтетическом примере, как это всё выглядит на временных графиках. На рис. 6. показано поведение цен двух активов с сильной корреляцией их доходностей за 43 торговых дня.
Рис. 6. Изменение цен двух активов с сильной корреляцией их доходностей за 43 торговых дня.
Эти цены меняются очень похоже друг на друга. Они одновременно растут и одновременно падают. Доходности этих активов в этом примере коррелируют друг с другом коэффициентом корреляции очень близким к единице: Corr = +0.95.
Средняя доходность первого актива на интервале 43 торговых дня <R>
=0.045, а риск S
=0.202. Средняя доходность второго актива <R>
=0.017, а риск S
=0.072.
На рис. 7 показан график доходностей этих активов. Хорошо видно, что эти доходности одновременно друг с другом становятся отрицательными и одновременно становятся положительными. Отрицательные доходности означают убытки.
Рис. 7. Изменение доходностей двух сильно коррелирующих активов за 43 торговых дня, их средние доходности и диапазоны риска.
На этом же рисунке горизонтальными штрихпунктирными линиями показаны средние за интервал доходности этих активов. Хотя средние доходности находятся выше нуля, то есть активы за все 43 дня оказались не убыточные, но в конкретные торговые дни обе доходности могут быть одновременно отрицательными.
Наконец, на рис. 7 тонкими пунктирными линиями показаны диапазоны риска активов. Диапазон риска, это отклонение доходности вверх и вниз от средней доходности на величину стандартного отклонения, то есть на величину риска. Хорошо видно, что нижние границы этих диапазонов очень сильно залезают в отрицательную область доходностей.
На рис. 8 показаны эти же самые доходности двух активов и доходность портфеля, который состоит из этих активов с весовыми коэффициентами W
= W
= 0.5.
Рис. 8. Доходности двух сильно коррелирующих активов и их портфеля с долями 1/2.
Какое бы соотношение долей активов мы бы не взяли, кривая доходностей портфеля всегда будет находится между кривыми доходностей этих двух активов. Кривая доходностей портфеля, как бы заперта, между кривыми доходности сильно коррелирующих активов. Она будет расположена ближе к кривой первого или второго актива в зависимости от соотношения долей этих активов в портфеле: W
и W
.
Средняя доходность портфеля <R>
всегда будет находиться между средними доходностями этих двух активов (<R>
? <R>
? <R>
) и риск портфеля S
тоже будет находиться между рисками этих двух активов (S
? S
? S
). А значит, нижняя граница диапазона риска портфеля в нашем примере всегда будет находиться в отрицательной области.
1.2.2.2. Коэффициент корреляции меньше единицы и больше минус единицы
Вернемся к нашему примеру с активами A и B из начала раздела 1.2.2. Если коэффициент корреляции временных рядов доходностей двух активов будет в диапазоне от -1 до +1 (-1<Corr
<+1), то формула доходности портфеля будет точно такая же, как и раньше:
А в формуле для риска портфеля двух активов (см. последнюю формулу раздела 1.2.2), в общем случае, квадратный корень в аналитическом виде не извлекается. Но хорошо видно, что подкоренное выражение будет уменьшаться вместе с уменьшением коэффициента корреляции Corr
. Значит, риск портфеля из двух активов будет уменьшаться вместе с уменьшением коэффициента корреляции.
Вот это и есть главный вывод теории Марковица. Чем коэффициент корреляции доходности активов меньше, тем меньше риск портфеля. Мы здесь этот вывод увидели на примере портфеля из двух активов.
На графике «Риск-Доходность» (см. рис. 5) портфели из двух активов будут уже располагаться не на отрезке, который соединяет два актива, а на кривых линиях, которые соединяют эти активы. Эти кривые имеют выпуклость в сторону меньшего риска.
На рис. 5 показано, как меняются линии местоположения портфелей для разных долей активов A и B, и разных коэффициентов корреляции. Разные цвета кривых на рис. 5 соответствуют разным коэффициентам корреляции Corr
. А конкретные точки на кривой фиксированного цвета соответствуют разным соотношениям весов активов W
и W
.
Цветными точками на рис. 5 показаны портфели с минимальными рисками для данного коэффициента корреляции.
Черными точками на рис. 5 показаны положения портфелей с равными весами активов W
= W
= 0.5. Доходности таких портфелей одинаковые. Но риски этих портфелей тем меньше, чем меньше коэффициент корреляции между доходностями активов.
Обратите внимание, что равные веса активов еще не гарантируют, что получится портфель с минимальным риском. Хорошо видно, что цветные точки находятся левее черных точек на соответствующих цветных кривых.
1.2.2.3. Антикорреляция Corr=-1
При самой маленькой корреляции между доходностями активов (Corr
=-1) кривые линии портфелей переходят в 2 отрезка, лежащих на прямых линиях, как показано голубым цветом на рис. 5. Эти отрезки касаются вертикальной оси координат в одной точке.
Но все точки на вертикальной оси координат соответствуют портфелям с нулевым риском. Значит, если доходности двух активов в точности антикоррелируют друг с другом, то можно так подобрать весовые коэффициенты этих двух активов, что результирующий портфель не будет иметь никакого риска (то есть станет безрисковым активом). Найдем эти весовые коэффициенты.
Если в последнюю формулу для риска из раздела 1.2.2 подставить Corr
=-1, то квадратный корень извлекается в аналитическом виде и получаем результат для весов в виде:
Итак, если портфель состоит только из двух активов, и доходности этих активов антикоррелируют, то получаем идеальную ситуацию: портфель становится безрисковым, если веса активов взаимно пропорциональны риску друг друга.
Снова посмотрим, как это всё выглядит на временных графиках для какого-нибудь синтетического примера. На рис. 9. показано поведение цен двух активов с сильной антикорреляцией их доходностей за 43 торговых дня.
Рис. 9. Изменение цен двух активов с сильной антикорреляцией их доходностей за 43 торговых дня
Эти цены локально меняются очень по-разному. Когда цена одного актива растет, то цена другого падает, и, наоборот. Доходности этих активов в этом примере почти антикоррелируют друг с другом, с коэффициентом корреляции очень близким к минус единице: Corr = -0.91.
Средняя доходность первого актива на интервале 43 торговых дня <R>
=0.045, а риск S
=0.206. Средняя доходность второго актива <R>
=0.020, а риск S
=0.075.
На рис. 10 показан график изменения доходностей этих активов за 43 дня. Хорошо видно, что, когда доходность первого актива становится положительной, доходность второго актива становится отрицательной, и, наоборот.
Поэтому убытки этих активов не складываются друг с другом. Когда доходность более волатильного актива сильно уходит в минус, в это время менее волатильный актив находится в плюсе по своей доходности и частично компенсирует убытки более волатильного актива. Понятно, что если долю менее волатильного актива взять побольше, а долю более волатильного поменьше, то можно так подобрать эти доли, что ухода в минус почти не будет.
Рис. 10. Изменение доходностей двух сильно антикоррелирующих активов за 43 торговых дня, их средние доходности и диапазоны риска.
На этом же рис. 10 горизонтальными штрихпунктирными линиями показаны средние за интервал 43 торговых дня доходности этих активов. А тонкими пунктирными линиями показаны диапазоны риска активов. Это отклонения доходности вверх и вниз от среднего значения на величину стандартного отклонения, то есть на величину риска. У актива с большим риском диапазон риска шире, чем у актива с меньшим риском.
На рис. 11 показаны доходности двух портфелей, составленных из этих активов. Кривая синего цвета соответствует такому портфелю, который состоит из этих активов с весовыми коэффициентами W
= W
= 0.5. Хорошо видно, что даже такое наивное распределение средств уже сильно уменьшает волатильность портфеля. Риск портфеля стал всего S
= 0.070. Это меньше, чем риски и первого и второго активов.
Рис. 11. Доходности портфеля с активами, у которых доходности сильно антикоррелируют.
Но наивная диверсификация в данном примере не является самой лучшей возможной диверсификацией. Если распределить средства инвестора в портфеле с такими весами, как W
= 0.267 и W
