Путешествие в квантовую механику

скачать книгу бесплатно


Осуществляя поиск аналитического решения уравнения Шрёдингера, необходимо разложить в ряд Фурье следующие выражения: ?

, F (x) и U

(x) F (x), тогда:

где R

 – координата граничного условия Дирихле; F (x) – произвольно заданная дифференцируемая функция, F (x) ?C.

Домножим левую и правую части тождества (4) на величину F (x), следовательно:

Заменим неизвестные переменные в формуле (4`) на соотношения A`, B`, C`, тогда:

В состав выражения (4*) входит общий множитель e

e

. Необходимо сократить последний, оставив в результате только коэффициенты тригонометрического ряда. Выполним следующие преобразования:

Разделим переменные относительно ?

(t, n

, m

), тогда:

Исходя из тождества ограниченности вероятности ?

?

?

*dx=1, возможно определить коэффициент C

. В рассматриваемом примере существует зависимость величины C

от времени t. Потребуем, чтобы множитель C

оставался постоянным в том случае, когда E

?R. Область определения волновой функции будет лежать в пределах отрезка [0,R

]. Вместе с тем для коэффициента R

возможно задать любое значение R

> 0?R, тогда:

Исходя из стационарного одномерного уравнения Шрёдингера, можно определить полную энергию электрона E

, находящегося в состоянии p, следовательно:

Для трёхмерного базиса величина E

составит:

В общем случае переменная E

окажется неопределённой, поскольку в выражении, полученном для полной энергии E

, будут присутствовать произвольные функции: F (x) – для одномерной или F (x,y,z) – для трёхмерной системы координат.

Таким образом, опираясь на предложенную в данном параграфе методику, можно констатировать, что величина E

, выраженная в общем виде, будет зависеть от случайных процессов, происходящих в квантовой системе. В стационарных условиях левая и правая части тождества (4!!) примут фиксированные во времени значения.

4.2 Кот Шрёдингера. Коллапс волновой функции

Если функции ?

и ?

являются волновыми, то их линейная суперпозиция ?

= c

?

+ c

?

описывает некоторое состояние квантовой системы. В том случае, когда измерение определённой физической величины f в состоянии ?

приводит к результату f

, а в состоянии ?

 – к результату f

, тогда измерение состояния ?

приведёт к результатам f

или f

с вероятностями |c

|

 и |c

|

 соответственно.

Поскольку стационарное уравнение Шрёдингера является линейным, то произвольно заданная комбинация его решений может быть представлена в виде суммы волновых функций.

Концепция мысленного эксперимента, связанного с котом Шрёдингера, заключается в следующей идее. В ящик помещаются банка с ядом, молоточный механизм с детектором и изначально живой кот. В случае распада ядра срабатывает детектор, который приводит в движение молоточный механизм, разбивающий сосуд с ядом, вследствие чего кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией двух состояний: распавшегося и нераспавшегося. Следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор может увидеть только какое-нибудь одно конкретное состояние: «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

В квантовой механике коллапс волновой функции происходит в том случае, когда волновая функция (первоначально в суперпозиции нескольких собственных состояний) сводится к одному собственному состоянию вследствие взаимодействия квантовой системы с внешним миром. Это взаимодействие в дальнейшем будем называть «наблюдением» или «измерением». Под нормированной суперпозицией понимается сумма нормированных волновых функций. Последние являются взаимно зависимыми. Примечательно, что объединенная волновая функция продолжает подчиняться уравнению Шрёдингера.

В 1927 году Вернер Гейзенберг использовал идею коллапса волновой функции для объяснения квантового измерения искомой нормированной вероятности. Однако ниже будет показано, что коллапс – это фундаментальное физическое явление, которое возможно обосновать, опираясь на решение уравнения Шрёдингера.

Вычисления можно производить в трёхмерной системе декартовых координат. Тем не менее для упрощения расчётов выберем одно измерение. Пусть F (x) =d (x) +ib (x), тогда:

Квадрат модуля коэффициента |C

|

 будет определять начальную вероятность каждого отдельного состояния p нормированной суперпозиции.

Постоянный член ai?

n

/R

, который входит в состав выражения E

, можно опустить, поскольку выше было положено условие зависимости полной энергии от произвольно заданной функции F (x).

Для того чтобы осуществить дальнейшие математические преобразования, необходимо выделить вещественную часть из выражения E

. Пусть E*

=Re (-iE

), следовательно:

Суперпозицию квантовых состояний возможно выразить в виде суммы волновых функций при условии, что величина n

примет постоянное значение, тогда:

где S` – полное количество возможных состояний системы.

Нормированную волновую функцию можно представить в виде соотношения:

здесь S`` – число нормированных состояний.

Если потребовать тождество E

*=0, то для любых p?N справедливым окажется выражение:

Таким образом, сумма нормированных вероятностей будет иметь постоянное значение независимо от условий проведения эксперимента.

В точке, где появится заряженная частица, потенциальную энергию можно считать бесконечно большой. За пределами данной области значения функции U

(x) окажутся малыми по отношению к той или иной сингулярности.

Допустим, что в точке с координатой f в окрестностях ? располагается пик потенциальной энергии. Вне области f±? потенциальная энергия U

(x) будет пропорциональна функции 1/|x-f|. Если величина ? окажется бесконечно малой ??0, то в этом случае выражение U

(f) примет постоянное значение. Потребуем, чтобы в точках пространства, расположенных вне окрестности f±?, выполнялось тождество G=E

* для любых x?f.

Итак, преобразуем соотношение (4.1) к следующему виду:

Полная нормированная энергия будет равна бесконечности E

*=±? только в том случае, когда в точке наблюдения f локализуется заряженная частица при условии, что функция F (f) sin (?m