скачать книгу бесплатно
+ Ву
+ С) и (Ах
+ Ву
+ С) имеют разные знаки;
3) одна или обе точки А
, А
лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах
+ + Ву
+ С) и (Ах
+ Ву
+ С) принимают нулевое значение.
5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х
, у
), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у
= к (х – х
) (параметр пучкак для каждой прямой свой).
Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y
) = m(x – x
), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.
Если две прямые пучка L
и L
соответственно имеют вид (А
х + В
у + С
) = 0 и (А
х + В
у + С
) = 0, то уравнение пучка: m
(А
х + В
у + С
) + m
(А
х + В
у + С
) = 0. Если прямые L
и L
пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.
6. Пусть даны точка М (х
, у
) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояниеd от этой точкиМдо прямой:
3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат
Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояниер (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный угол? (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние
полярный угол ?
причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.
Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cos? + y sin? – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение
(знак берется в зависимости от знака С).
Рис. 2
После деления получается нормальное уравнение данной прямой:
Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.
Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.
При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х
, у
), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х
, у – у
т. е. справедливо следующее х = х* + х
, у = у* + у
или х* = х – х
, у* = у – у
(* новые координаты точки).
При повороте осей на некоторый угол ? справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):
x = x* cos? – y* sin?;
y = x* sin? + y* cos?
или
x* = x cos? + y sin?;
y* = – x sin? + y cos?.
4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линиейn–порядка.
Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х
+ у
= R
, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:
(х – а)
+ (у – b)
= R
.
Чтобы уравнение Ах
+ Вх + Ау
+ Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х
и у
были равны, чтобы В
+ С
– 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).
Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах
+ Вх + Ау
+ Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R
= (В
+ С
– 4АD) / 4A
.
Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).
Рис. 3
Прямая АА
называется осью сжатия, отрезок АА
= 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ
= 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А
, В, В
– вершинами эллипса. Отношение k = b / aкоэффициент сжатия величина ? = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.
Каноническое уравнение эллипса: x
/ a
