скачать книгу бесплатно
E__G__F
то существующее между ними отношение равенства непосредственно доступно созерцанию. Если же линии EF и EG неравны, то этим дано как отношение EF к EG, так и отношение EG к EF, так как разница обеих изображенных линиями величин выражена линией GF. Отношение неравных величин есть количество, так как оно выражается разницей GF, которая есть количество. Отношение же равенства не есть количество, так как между величинами нет разницы, а из равенств одно не может быть больше другого (что бывает при неравенствах).
9. Отношение двух промежутков времени или скоростей двух равномерных движений обозначают двумя линиями, вдоль которых, как мы себе представляем, равномерно движутся два тела. В зависимости от того, принимаем ли мы обе эти линии за изображения величин, времен или скоростей, они будут представлять или отношение друг к другу, или отношение времен, или отношение скоростей. Так, пусть линии А и В:
____A____ ____B____
прежде всего наглядно представляют отношение друг к другу. Если же затем мы представим себе, что вдоль этих линий равномерно с равной скоростью движутся тела, и если связанные с движением этих тел промежутки времени будут относиться друг к другу как большие, меньшие или равные в соответствии с пройденным в это большее, меньшее или равное время путем, то линии А и В будут представлять равенство или неравенство, т. е. отношение этих промежутков времени. Если, наконец, мы предположим, что линии А и В пройдены в один и тот же промежуток времени, то они будут представлять равенство или неравенство, т. е. отношение, скоростей, ибо скорости бывают большими, меньшими или равными в зависимости от того, проходят ли движущиеся тела в одинаковое время большие, меньшие или равные отрезки пространства.
Глава XIII
Об аналогиях, или О тождестве отношении
1, 2, 3, 4. Сущность и определение арифметических и геометрических отношений. 5. Определение и некоторые свойства равных арифметических отношений. 6, 7. Определение и преобразование равных геометрических отношений. 8, 9. Определение и преобразование неравных отношений. 10, 11, 12. Сравнение аналогичных количеств в отношении их величин. 13, 14, 15. Соединение отношений 16, 17,18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Определение и свойства непрерывных отношений. 26, 27, 28, 29. Сравнение арифметических и геометрических отношений.
Глава XIV
О прямых и кривых линиях. Угол и фигура
1. Определение и свойства прямой линии.
[…] Кратчайшая линия между двумя данными точками есть та, конечные точки которой не могут быть удалены друг от друга без того, чтобы она не претерпела количественных изменений, т. е. чтобы не изменилось отношение этой линии к другой линии […] Кривой называется такая линия, конечные пункты которой могут быть еще больше удалены друг от друга, прямой – такая, чьи конечные пункты не могут быть больше удалены друг от друга […] III. Между двумя данными точками может быть проведена только одна прямая линия, ибо между ними может быть только одно кратчайшее расстояние, или одна наименьшая длина. Чтобы доказать это, предположим обратное, т. е. что между двумя данными точками могут быть две прямые линии. В таком случае они или совпадают и, следовательно, обе представляют собой только одну прямую линию, или не совпадают, и тогда, если мы посредством растягивания наложим одну из них на другую, конечные пункты одной линии окажутся более удаленными друг от друга, чем конечные пункты другой. Первая линия поэтому с самого начала была кривой […]
2. Определение и свойства плоскости.
[…] Плоскость описывается прямой линией, которая движется так, что все ее точки описывают прямые линии…
Различные виды кривых.
Определение и свойства круговых линий.
Свойства прямых линий на плоскости.
Определение пересекающихся линий.
Определение и виды углов.
[…] Если две линии или несколько плоскостей соприкасаются в одной-единственной точке, а везде вне этой точки расходятся, то величина этого расхождения есть угол […]
В концентрических кругах дуги равных углов относятся, как окружности кругов.
Чем измеряется угол?
[…] Угол измеряется дугой, величина которой определяется ее отношением ко всей окружности круга […]
Различие простых углов.
О прямых, соединяющих центр круга с касательной.
Общее определение параллельных линий; свойства параллельных прямых.
[…] Две любые линии, прямые или ломаные, равно как и две плоскости, параллельны, если две равные прямые линии, пересекая их где бы то ни было, всегда образуют равные углы […]
Окружности двух кругов относятся друг к другу, как их диаметры.
Прямые линии, проведенные параллельно к основанию треугольника, относятся друг к другу, как отрезки сторон треугольника.
15. От какого излома прямой линии возникает окружность круга?
Угол, образуемый двумя касательными к одной кривой, как и простой угол, имеет величину, но его величина – другого рода. К нему ничего не может быть прибавлено, и от него ничего не может быть отнято.
Отклонение двух плоскостей есть простой угол.
Что такое телесный угол (solidus)?
Что такое асимптоты?
Чем определяется положение?
Что значит подобное положение; что такое фигура и что такое подобные фигуры?
Раздел третий
О законах движения и величин
Глава XV
О природе и различном понимании движения и стремления (импульса – conatus)
Повторение некоторых принципов развитого раньше учения о движении.
Дальнейшие принципы.
[…] Стремление, или импульс (conatus), есть движение через такой отрезок пространства и в течение такого промежутка времени, которые так малы, что не могут быть даны, или обозначены числами, следовательно, движение через точку. Для разъяснения этого определения нужно напомнить, что под точкой не следует понимать нечто не имеющее величины, или неделимое. Ничего подобного вообще не существует в природе. Точка означает здесь нечто, величина или части чего не принимаются во внимание при доказательстве, т. е. точка принимается не за неделимое, а за неразделенное. Точно так же и под мгновением следует понимать не нечто неделимое, а неразделенный элемент времени […] Подобно тому как мы сравниваем точку с точкой, мы можем сравнивать и импульс с импульсом и находить, что один из них больше или меньше другого […]
Под стремительностью (impetus) я понимаю скорость движущегося тела, но рассматриваемую в любом промежутке времени, в течение которого происходит движение. В этом смысле стремительность есть не что иное, как величина и скорость самого импульса […] Сопротивлением называется тот импульс, который при столкновении двух движущихся тел частично или целиком противоположен импульсу другого тела […]
Из двух движущихся тел одно оказывает давление на другое тело, если первое силой своего импульса заставляет сдвинуться со своего места другое тело или его часть […]
Сила есть стремительность, или скорость, движения, умноженная на саму себя или на величину движущегося тела, благодаря чему это последнее более или менее сильно воздействует на тело, которое оказывает ему сопротивление […]
3. Некоторые тезисы о природе движения.
[…] Движущаяся точка, как бы мала ни была стремительность ее движения, приводит в движение точку, находящуюся в покое, при столкновении с последней […]
Если движущаяся точка ударяется о точку находящегося в покое тела, то последнее, как бы оно ни было твердо и как бы мала ни была стремительность движущейся точки, силой удара будет немного сдвинуто со своего места […]
Покой не производит абсолютно никакого действия, одно только движение заставляет двигаться покоящиеся тела и приводит в состояние покоя тела движущиеся […]
Тело, движущееся под воздействием другого тела, не теряет своего движения после прекращения движения последнего […]
Дальнейшие мысли о движении.
Направление, которое приобретает первый импульс движущихся тел.
Если движение возникает из столкновения двух движущихся тел, то импульс в случае прекращения движения одного из этих тел приобретает то же направление, что и путь другого.
Каждый импульс распространяется до бесконечности.
[…] Ибо он есть движение. Если движение (а следовательно, и первый импульс) происходит в пустом пространстве, то оно будет продолжаться впоследствии с той же скоростью, так как пустое пространство не может оказывать никакого сопротивления. Поэтому импульс в этом случае всегда будет распространяться в одном и том же направлении и с одной и той же скоростью. Если же пространство не пусто, то, так как импульс есть движение, всякая вещь, препятствующая импульсу, будет сдвинута со своего места, и так будет происходить до бесконечности. Поэтому и в заполненном пространстве распространение импульса продолжается до бесконечности, причем он переходит с одной части этого пространства на другую […] Сверх того, импульс переносится на какое угодно далекое расстояние мгновенно. При этом совершенно неважно то что по мере его распространения он все более и более слабеет, так что в конце концов не может больше быть предметом чувственного восприятия. Движением он все же остается, хотя бы и движением, незаметным для глаза. Но мы здесь рассматриваем вещи не такими, какими они представляются нам на основании наших чувственных восприятий и опыта, а такими, какими представляет их наш разум […]
8. Чем больше скорость (при равной величине) какого-нибудь движущегося тела, тем большее действие последнее оказывает на другое тело, с которым оно сталкивается в своем движении.
Глава XVI
О равномерном и ускоренном движении; о движении, возникающем в результате столкновения
1. Скорость всякого тела, в какой бы момент времени мы ее ни рассматривали, равна величине импульса, помноженной на время. 2–5. Пути любых движений относятся друг к другу, как произведения импульсов этих движений и времени, 6. Отношение путей, пройденных двумя равномерно движущимися телами, складывается из прямого отношения затраченных этими телами на движение промежутков времени и их импульсов. 7. Отношение промежутков времени, затраченных на движение двумя равномерно движущимися телами, складывается из отношений их взаимно сопоставленных путей и импульсов; подобным же образом и отношение их импульсов складывается из отношений их взаимно сопоставленных путей и затраченных ими на движение промежутков времени. 8. Если тело приводится в движение двумя движениями, направления которых образуют угол, то направление движения этого тела будет представлять собой прямую линию, образующую диагональ параллелограмма, составленного из обоих вышеуказанных движений. 9-IS, Какой путь описывает тело, приведенное в движение двумя движениями, из которых одно равномерно, а другое ускоренно, если отношение путей, описываемых последними, к промежуткам времени, в течение которых они совершаются, может быть выражено в числах.
Глава XVII
О несовершенных фигурах
1. Определение несовершенной фигуры.
[…] Я называю несовершенными такие фигуры, которые мы можем представить себе как результат равномерного движения непрерывно уменьшающегося количества […] Такой несовершенной фигурой является, в частности, плоскость, ограниченная двумя прямыми линиями и одной кривой, например параболой […]
Я называю фигуру совершенной по сравнению с какой-либо несовершенной фигурой, если она произведена в то же время, что и последняя, и тем же движением количества, сохраняющего все время одну и ту же величину. Дополнение несовершенной фигуры делает ее совершенной […]
Отношение несовершенной фигуры к ее дополнению.
Отношение несовершенных фигур к параллелограммам, в которые они вписаны.
Описание и построение, этих же фигур.
Проведение касательных к ним.
Отношение несовершенных фигур к прямолинейному треугольнику, имеющему ту же высоту и то же основание.
Таблица несовершенных объемных фигур, вписанных в цилиндр.
В каком отношении находятся эти фигуры к конусу, имеющему ту же величину и основание, что и они.
Способ вписать плоскую несовершенную фигуру в параллелограмм так, чтобы отношение – этой фигуры к треугольнику, имеющему ту же высоту и основание, было равно отношению другой удвоенной плоской или объемной несовершенной фигуры к данной несовершенной фигуре, взятой вместе с той совершенной фигурой, в которую она вписана.
10. Перенос известных свойств несовершенных фигур, вписанных в параллелограмм, на отношения пространств, пройденных движущимися с различной степенью скорости телами.
11. О несовершенных фигурах, вписанных в круг.
12. Подтверждение положений, содержащихся в пункте 2, на основании принципов первой философии.
[…] При этом имеется в виду положение, что равенство или неравенство действий, т. е. отношение между ними, обусловливается и определяется равенством и неравенством их причин […]
О равенстве между поверхностью части шара и кругом.
Как путем вписания несовершенных фигур в параллелограмм может быть найдено любое число равных пропорций между двумя данными линиями.
Глава XVIII
О равенстве прямых и параболических линий
1. Как найти прямую линию, равную кривой полупараболы. 2. Как найти прямую линию, равную кривой первого полупараболастра. 3. Общий метод нахождения прямых, равных прочим кривым типа параболы.
Глава XIX
О равенстве углов падения и углов отражения
1. Если две параллельные прямые линии падают на другую прямую, то их отраженные линии также параллельны. 2. Если две прямые, исходящие из одной точки, падают на другую прямую, то продолжения соответствующих отраженных линий образуют угол, равный углу, образуемому линиями впадения. 3. Если две прямые параллельные линии падают на окружность круга, то их отраженные линии внутри круга образуют угол, равный удвоенному углу, образуемому линиями, соединяющими центр круга с точками впадения. 4. Если две линии, исходящие из точки, лежащей вне круга, падают на эту окружность и их отраженные линии внутри круга пересекаются, то последние образуют угол, равный сумме удвоенного угла, образуемого двумя линиями, соединяющими центр круга с точками впадения, и угла, образуемого самими линиями впадения. 5. Если две прямые, исходящие из одной точки, падают на вогнутую сторону какого-нибудь круга и угол, образуемый ими, меньше удвоенного центрального угла, то их линии отражения в случае их пересечения внутри круга образуют угол, который вместе с углом, образуемым линиями впадения, равен удвоенному центральному углу.
6. Если две неравные хорды пересекаются в какой-нибудь точке, а центр круга не лежит между ними, то, где бы ни пересекались их линии отражения, через точку пересечения обеих хорд нельзя провести никакой другой прямой, линия отражения которой проходила бы через точку пересечения обеих указанных линий отражения. 7. Если хорды равны, то вышеуказанное положение не имеет силы. 8. Как через данные точки на периферии круга провести две прямые так, чтобы их линии отражения образовали данный угол. 9. Если прямая проходит через круг и пересекает его радиус таким образом, что часть ее, находящаяся между радиусом и окружностью круга, равна части радиуса, находящейся между центром и точкой пересечения, то линия отражения данной линии параллельна радиусу. 10. Если из какой-нибудь точки внутри круга проведены две прямые к его окружности и их линии отражения пересекаются внутри его, то последние образуют угол, равный трети угла, образуемого линиями впадения.
Глава XX
Об измерении окружности и делении дуги и углов
…
Глава XXI
О круговом движении
1. При простом движении любая проведенная через движущееся тело линия остается параллельной линиям, соответствующим ее прежним положениям.
2. Если центр вращающегося круга пребывает в покое и если в этом кругу находится эпицикл, вращающийся в противоположном направлении так, что он в равные промежутки времени описывает равные углы, то всякая проведенная через этот эпицикл прямая будет двигаться параллельно самой себе в прежнем положении.
3. Свойства простого движения.
4. Если жидкость приводится в простое круговое движение, то все ее точки описывают окружности в промежутки времени, пропорциональные их расстояниям от центра движения.
5. Простое движение рассеивает разнородное и соединяет однородное.
[…] Такое движение обычно называется ферментацией […]
6. Если круг, описываемый телом, находящимся в состоянии простого кругового движения, соизмерим с другим кругом, описываемым точкой, вовлеченной в это движение, то по истечении некоторого промежутка времени все точки обоих кругов снова примут прежнее положение.
7. Если шар находится в состоянии простого движения, то последнее рассеивает разнородные тела тем сильнее, чем более удалены эти части шара от его полюсов.
8. Если простое круговое движение жидкого тела задерживается нежидким телом, то первое растекается по поверхности последнего.
