скачать книгу бесплатно
Сказки дедушки Амира по геометрии
Амир Анварович Фаткуллин
Всё вокруг – геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно. Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. К числу таких образцов относятся пчелиные соты, некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. В этих сказках вы познакомитесь со сказочными героями: точками, отрезками, плитками, побываете в царствах Геометрии, встретитесь со странником и визирем, научитесь новым методам деления треугольника, вычисления площадей, объемов. Книга полезна школьникам, учителям и всем, кто интересуется геометрией, в качестве учебного пособия. В книге много мудрых мыслей, рисунков и нравственных тем.
Амир Фаткуллин
Сказки дедушки Амира по геометрии
Сказка о начале всех начал – о Точке
В начале было… Нечто… и – больше ничего.
Кругом была пустыня и не было того,
Кто мог бы дать названье тому,– что ж это было,
Но Нечто всё, что видим вокруг мы,– сотворило.
Котов Л. Ф.
Где жила Точка
Жила-была Точка. Вы думаете, что точка, и все – конец предложения и сказке? Нет, это не та точка, которая в конце предложения, а это -математическая Точка.
А где математическая Точка жила? Ее можно встретить на линии в одномерном пространстве, в котором есть только длина. Ее можно встретить на плоскости в двумерном пространстве, в котором есть длина и ширина. Точку можно встретить в трехмерном пространстве, где есть длина, ширина и высота.
А можно встретить Точку в четырехмерном пространстве, где уже 4 измерения? Об этом поговорим позже. Точку нельзя измерить, ведь она безразмерная, у нее нет длины, ширины, высоты, то есть Точка – это и есть Нечто.
А из этого Нечто все и появилось.
А что такое Точка? Есть синонимы Точки – это пункт, узел, позиция, пик, вершина. Часто мы слышим словосочетания: из пункта А в пункт Б… или выдвинуться на такую-то позицию…, или узловая точка, или вершина пирамиды, или пик Победы.
Когда мы смотрим на самолет вдалеке, то видим точку, но это не математическая Точка, а физическая точка. Звезды тоже мы видим в виде физических точек. А в письме – сколько грамматических точек: точка в конце предложения, двоеточие, многоточие, точка с запятой. Об этих точках будут другие сказки. А теперь уберем фамилию и будем математическую Точку называть просто Точка.
– Профессор, что такое Точка?
– Это прямая, если смотреть ей в торец.
В математике Точку называют нульмерным пространством.
А теперь начинается сказка о Точке.
Собственно она сама представляла собой пространство, только нульмерное и больше никого не было в этом пространстве. Точке стало скучно в этом нульмерном пространстве и она стала искать другие Точки. Где-то еще жили другие Точки в своих нульмерных пространствах. Но чтобы до них дойти надо попасть в другое пространство. И вот, наша Точка решила путешествовать по другим пространствам.
Точка подружилась с отрезком
Она вырвалась из своего нульмерного пространства и попала в одномерное пространство. Поскольку там была длина, то она решила расти в одну сторону – и получился Луч. Так его назвала Точка, потому что он как луч света выходит из источника (Точки). Потом она решила расти в противоположную сторону – и получилась Прямая. Так ее назвала Точка за то, что она идет прямо, не отклоняясь в стороны и не останавливаясь. По пути ей встретилась другая Точка, ведь она была не единственной путешественницей, – и получился Отрезок, то есть часть прямой.
Таким образом, Точка создала в одномерном пространстве: Прямую, которая бесконечна в обе стороны, то есть не имеет ни начала ни конца. Луч – Часть прямой ограниченной с одной стороны. Отрезок – часть Прямой, ограниченной с обеих сторон.
Пока одна Точка создавала Луч, Прямую в одномерном пространстве, другие Точки тоже решили побывать там. Они как раз попали на Прямую и образовали несколько Отрезков.
Точки подружились между собой и с Отрезками и решили путешествовать вместе. Отрезки вместе с Точками вырвались в двумерное пространство.
Появление плиток и разных фигур
Там Отрезки стали сравниваться друг с другом, ведь у них была длина. Потом Отрезки стали перемещаться по плоскости и пересекаться друг с другом. Что интересно, когда они пересекались, то в месте их пересечения появлялась Точка, которая как бы склеивала отрезки под каким-то углом. Таким образом, Точки появились и в двумерном пространстве.
Иногда Отрезки так располагались друг относительно друга, что не пересекались.
Точки стали искать причину, почему Отрезки не пересекаются, вставали в конце отрезков и увеличивали их длину, образуя лучи на продолжении Отрезков. Некоторые Отрезки действительно пересекались и образовывали между собой какой-то угол, если Точки увеличивали их длину. А некоторые Отрезки никак не хотели пересекаться на плоскости. Тогда их назвали параллельными. Но все-таки любые лучи пересекаются, но это уже в другой геометрии и другом пространстве, например, на сфере.
Отрезки так стали пересекаться, что стали образовывать плоские замкнутые фигуры, которые назвали треугольниками (в пересечении получались 3 угла), четырехугольниками (4 угла) и т.д. Отрезки, которые образовали замкнутые фигуры, назвали сторонами многоугольника, а точки пересечения сторон назвали вершинами.
Все эти фигуры состояли только из Точек и Отрезков, а внутри замкнутой фигуры была пустота, в которой могли находиться другие замкнутые фигуры, отрезки и точки.
Потом Отрезки стали изгибаться, образовывать кривые линии в двумерном пространстве и тогда у них кроме длины появлялась ширина. А один Отрезок так изогнулся, что получилась окружность. При этом внутри окружности появилась Точка – центр окружности. Другой Отрезок стал овалом. Отрезок так изогнулся, что исчезли Точки по концам Отрезка.
Отрезки и Точки были довольны, что создали так много разных фигур, но вдруг один умный Отрезок решил увеличиться в ширину, ведь в двумерном пространстве кроме длины еще была ширина. И он увеличился в ширину и получился сплошной четырехугольник, который уже занимал определенную площадь. В этой площади уже никто не мог поместиться, то есть там уже не было пустоты. Потом другие Отрезки тоже стали расти в ширину.
Таким образом, стали появляться новые сплошные плоские фигуры. Да, они занимали определенную часть двумерного пространства, то есть площадь. Получилось, что из одномерного Отрезка путем роста в ширину появилась двумерная фигура, по краям которой появились Отрезки, а в углах Точки. Эти фигуры нам известны из геометрии это – прямоугольники и квадраты. Потом появились сплошные треугольники, многоугольники. Теперь уже нельзя было назвать эти многоугольники Отрезками, поэтому для краткости назвали их Плитками.
Точки и Отрезки подружились с Плитками и решили дальше путешествовать.
Откуда появились кубики и пирамидки?
Теперь уже Плитки вместе с Точками и Отрезками вырвались в трехмерное пространство, в котором было уже три измерения: длина, ширина и высота. А в трехмерном пространстве Плитки и Отрезки стали перемещаться друг относительно друга. Из этих пересечений рождались опять же Точки и Отрезки.
Когда Плитки пересекались, то в месте их пересечения появлялись Отрезки.
Когда Отрезок пересекался с плиткой, то в месте пересечения с Плиткой появлялась Точка.
А если три плитки пересекались, то в месте их пересечения появлялась…Точка!
Но когда Отрезок был параллелен Плитке, то он даже на продолжении, не пересекался с Плиткой.
Плитки, которые были параллельны друг другу, тоже не пересекались.
Отрезки в трехмерном пространстве то пересекались, то не пересекались между собой. Причем, если Отрезки пересекались или были параллельны между собой, то они находились внутри одной плоскости, то есть в двумерном мире.
А еще они могли располагаться между собой и не пересекаясь и не параллельно. Тогда через них нельзя было провести плоскость. В этом случае Отрезки назывались скрещивающимися.
В первом случае Отрезки a и b параллельны и находятся в плоскости ?. Во втором случае Отрезки c и d пересекаются и в пересечении рождают Точку А и находятся в плоскости ?. В третьем случае Отрезки k и m скрещиваются. Отрезок m лежит в плоскости ?, а Отрезок k пересекает плоскость ? и рождает Точку N.
Плитки стали пересекаться друг с другом и образовали трехмерные фигуры. При этом в месте пересечения двух плоскостей (граней) рождались Отрезки (ребра), а в месте пересечения нескольких плоскостей рождались Точки (вершины).
Первую фигуру назвали тетраэдром, вторую – кубом, третью – октаэдром, четвертую – икосаэдром и пятую – додекаэдром. Это – правильные многогранники, потому что у каждого этого многогранника одинаковые ребра и грани. А внутри них пустота, потому что они образованы из Плиток. Вскоре появились и неправильные трехмерные тела из пересечения Плиток: пирамиды, параллелепипеды, призмы и т.д.
У призмы нижнее и верхнее основания – многоугольники, которые одинаковы и параллельны, а боковые грани являются параллелограммами. У параллелепипеда все грани являются параллелограммами. Параллеллограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. У пирамиды в основании лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.
Одна любопытная квадратная Плитка решила вырасти в высоту, то есть кроме длины и ширины у ней появилась высота и она стала похожа на куб. Но куб теперь стал сплошным, без пустоты. По краям этого куба появились квадратные Плитки (грани), по границам появились Отрезки (ребра), по углам появились Точки (вершины). И теперь у него появилось имя Кубик.
Треугольная Плитка тоже стала расти в толщину, но не расчитала силы и на какой-то высоте сузилась до точки. Теперь она стала похожа на треугольную сплошную пирамиду. По краям этой пирамиды появились треугольные плитки, по границам появились ребра, а по углам появились вершины. Теперь ее стали называть Пирамидкой.
Прыжок в четвертое измерение
Точки, Отрезки, Плитки подружились с Кубиком и Пирамидкой и решили пойти уже в четырехмерное пространство. У Кубика получился прыжок в четырехмерное пространство, то есть он как бы переместился по координате четырехмерного пространства.
А что за координата? Давайте представим, что Кубик переместился во времени, то есть вчера он был там, а сегодня оказался здесь. Причем эти моменты совпали, то есть мы видим Кубик вчерашний и сегодняшний одновременно. Аналогично и Пирамидка прыгнула в четырехмерное пространство.
У Станислава Лема, польского фантаста в путешествиях Йона Тихого описано одновременное появление вчерашнего и сегодняшнего космонавта в космическом корабле при пересечении спиралей времени.
Корабль попал в центр вихря около полуночи, вибрируя и постанывая всеми сочленениями. Я испугался, что он развалится, но он вышел из испытания с честью, а когда снова попал в объятия мертвой космической тишины, я покинул реакторный отсек и увидел самого себя сладко спящим на кровати. Я сразу понял, что это я из предыдущих суток, то есть из ночи понедельника.
Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века. Идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения.
Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента.
На этом рисунке показан четырехмерный куб – тессеракт
3-куб состоит из: 8 вершин (точек), 12 ребер (отрезков), 6 плиток (квадратов), 1 – куба (кубика).
4-куб-Тессеракт состоит из: 16 вершин, 32 отрезков, 24 квадратов, 8 кубов.
Отрезок (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BA) прямой имеет две граничные точки, квадрат (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82) – четыре вершины, куб (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1) – восемь вершин. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра – по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани – 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.
Точки, Отрезки, Плитки, Кубики подружились с Тессерактом.
Как сторонами квадрата являются 4 одномерных Отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны.
Для того, чтобы представить немного этот четырехмерный куб, на нижнем рисунке даны его стереометрические проекции. Чтобы возникло его изображение надо приближать и отдалять этот рисунок к глазам.
Как видно из этого стереометрического изображения и в четырехмерном пространстве есть Точки, Отрезки, многоугольники и многогранники. Еще нагляднее Тессеракт смотреть в голографическом изображении, когда Тессеракт вращается.
Поучительный рассказ
Профессор, стоя в аудитории перед студентами, взял пятилитровую стеклянную банку и наполнил ее камнями по 3-4 см в диаметре. Спросил студентов.
– Полна ли банка?
– Да – ответили ему.
Тогда он достал банку с горошком и высыпал в банку. Горошек занял промежутки между камнями. И снова спросил.
– Полна ли банка?
– Да – ответили ему.
Тогда он достал мешок с песком, высыпал в банку, потряс и спросил.
– Полна ли банка?
– Да, теперь полна – ответили ему студенты, смеясь.
Но профессор достал кружку с водой и вылил в банку.
Студенты смеялись.
И тогда он сказал, что камни – это важнейшие вещи в жизни: семья, здоровье, дети, родственники, друзья; горошек – это важные лично для вас вещи: работа, образование, хобби, автомобиль; песок – это разные мелочи жизни, на которые иногда уходит много времени.
– А вода? – спросили студенты.
– Это время на праздное времяпровождение. Надо ведь отдыхать!
Последнее тоже важно, ведь без этого банка не будет полной.
Как видно из рассказа камней в банке было конечное число, например, 20 камней. Горошка в банке было тоже конечное число, например, 400 горошин. Песчинок в банке тоже было конечное число, например, 10000 песчинок. А воды сколько было? Можно подсчитать? Например, сколько молекул воды в банке? Вот тут мы сталкиваемся с бесконечностью.
Сколько точек в отрезке, плитке и кубике?
Теперь скажите, а сколько точек в отрезке? Подумали?
А там тоже бесконечное число точек. Сколько точек в отрезке в 1 миллиметр и сколько точек в отрезке 1 метр? Можно сказать, что в одном метре больше точек, чем в одном миллиметре? Нет, а все потому, что точка не имеет размеров.
Здесь, конечно, говорится о математической точке, о нульмерном пространстве. Теперь можем уверенно сказать, что на плоской сплошной фигуре тоже бесконечное число точек, и в сплошном кубе или пирамиде тоже бесконечное число точек.
На всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке. Потому что между точками прямой и отрезком можно установить взаимно однозначное соответствие.
Проводим из каждой точки отрезка, как показано на рисунке лучи к окружности. Через точки пересечения лучей с окружностью радиусы до пересечения с прямой. Таким образом, устанавливается однозначное соответствие (называемое биекцией) между точками отрезка и точками прямой
Через точку можно провести бесконечное число отрезков, а через отрезок можно провести бесконечное число плоскостей. Вот такая она бесконечность. Дальше мы столкнемся с целыми числами и дробными. Есть целые числа: 0, 1, 2, 3, …, а есть дробные числа 1/2, 1/5, 1/10, 1/100, 1/1000, и т.д. Все эти дробные числа находятся между 0 и 1 и их бесконечное число. То же бесконечное число дробных чисел находится между двумя любыми целыми числами. Но рассказ о числах – это тема другой сказки.
