Светлые века. Путешествие в мир средневековой науки

скачать книгу бесплатно


В середине ноября, около Дня святого Мартина, Джон мог бы наблюдать утренний закат Плеяд и вслед за поэтом, приписавшим каждому месяцу свое занятие, посчитать это астрономическое событие сигналом к закалыванию свиньи: «В Мартынов день колю свинью». Монахи Сент-Олбанса именно так и считали. Тот же самый переписчик, что снимал копию с «Труда о земледелии», нарисовал и астрономический календарь с богато украшенными буквицами (рис. 1.4, 1.5). Инициалы KL, с которых начинался каждый месяц и которые служили рамкой, обрамлявшей сценку, символизирующую типичную для этого времени года работу, означают «календы», первый день месяца. Покладистую хрюшку, которую в октябре батрак тащит в лес, чтобы она покормилась желудями, в ноябре безжалостно закалывает бородатый йомен.

Рис. 1.4, 1.5. Календарь из Сент-Олбанса: начальные буквы как иллюстрации к октябрьским и ноябрьским трудам

Это было известно каждому, но формально никогда не закреплялось. На другом конце света все было иначе. В 1280 году в Китае придворный астроном монгольской династии Юань составил «систему определения сезонов» – календарь «Шоуши-ли». Монголы, завоевавшие Китай, со всей серьезностью отнеслись к обязанности императоров обеспечить население точным календарем и простым перечислением дней в году не ограничились. Государственная астрологическая комиссия привлекла десятки служащих – топографов и математиков – к составлению свода астрономических данных. Календарь задумывался как подспорье крестьянам при посадках и сборе урожая, а чиновникам должен был помочь определять даты государственных церемоний и принимать решения на основе астрологических карт, однако вне круга образованной элиты значительного следа не оставил[50 - N. Sivin, Granting the Seasons: The Chinese Astronomical Reform of 1280 (New York, 2008).].

Пусть сельское хозяйство в Сент-Олбансе велось не с такой астрономической точностью, жизнь монахов, разумеется, зависела от благополучия окрестных крестьянских хозяйств. И едва ли какое-то из них значило для монахов больше, чем некогда принадлежавшее аббатству владение Уэствик. В 1130 году щедрый до расточительности аббат Джеффри Горэм отдал его в приданое своей сестре, когда та выходила замуж. Поместье переименовали в Горэм, и этот факт еще долго не давал монахам покоя, не позволяя смириться с потерей. Тем не менее хронист из Сент-Олбанса по имени Матвей Парижский, известный безапелляционностью суждений, отзывался о Джеффри довольно мягко, воздавая должное достижениям Горэма, который активно перестраивал здания аббатства, расширял его владения, основал больницу и женский монастырь[51 - Gesta Abbatum monasterii Sancti Albani (GASA), ed. H. Riley (London, 1867), 1: 73–95.].

Джеффри – важная для нашего повествования фигура. Он мог бы стать первым из известных нам учителей той самой аббатской школы, где Джон Вествик постигал науку о числах, – если бы все-таки приступил к своим обязанностям. Еще не став монахом, Джеффри был учителем в Горроне, городе на севере Франции, и явно обладал кое-какой профессиональной репутацией. Его переманили в школу при Сент-Олбансе, когда аббатство решило поднять преподавание на новый уровень. Однако переезд затянулся, и монахи подыскали Горэму замену. Джеффри пришлось сводить концы с концами, преподавая в расположенном неподалеку городке Данстейбле. Коротая время в ожидании обещанного ему поста, Джеффри поставил на сцене мистерию, повествующую о жизни святой Екатерины (любимой святой нормандской королевской семьи)[52 - C.B.C. Thomas, 'The Miracle Play at Dunstable', Modern Language Прим. s 32 (1917): 337–344.]. Подходящих для представления костюмов у него не было, и он позаимствовал несколько великолепных мантий у певчих Сент-Олбанса. Постановку ждал потрясающий успех. К несчастью, той же ночью пожар дотла спалил дом, где жил Джеффри. Огонь уничтожил все его книги и взятые взаймы дорогие мантии. Джеффри выплатил долг монастырю единственной собственностью, которая у него еще оставалась, – своей жизнью. Он предложил себя в жертву Богу и Сент-Олбансу, принял постриг и быстро поднялся до должности аббата. Матвей Парижский между делом замечает, что в качестве аббата Джеффри особенно заботился о сохранности одеяний монастырского хора[53 - GASA (см. прим. 24), 1: 73.].

Реформирование школы при Сент-Олбансе было продиктовано необходимостью привлекать в монастырь новых братьев. В 1370-х, когда Джон Вествик принял постриг, отбор был довольно жестким. В подборке типовых писем того времени сохранилось официальное уведомление, отправленное поручителю кандидата в монахи, провалившего испытательный срок, из чего понятно, что для поступления в монастырь требовались поручительства. Чтобы попасть в такое престижное место, как Сент-Олбанс, послушник как минимум должен был уметь читать и писать. Уровень грамотности в средневековой Англии был не настолько низок, как часто думают, – почти половина населения обладала базовыми знаниями и как минимум могла прочесть знакомую молитву. Но с Джона как с будущего монаха спрос был выше. Обучение в школе Сент-Олбанса не гарантировало сана, но было необходимым шагом на пути к нему[54 - Cambridge University Library MS Ee.4.20, f. 68v; J. G. Clark, The Benedictines in the Middle Ages (Woodbridge, 2011), 70–71; M. T. Clanchy, From Memory to Written Record: England 1066–1307, 2nd ed. (Oxford, 1993), 13; Orme, English Schools in the Middle Ages (см. прим. 7), 49–50.].

При крупных аббатствах обычно создавались собственные школы, но школа Сент-Олбанса была в то же время и городской. Монах-летописец Матвей Парижский гордился тем, что «едва ли отыщешь в Англии школу лучше, или успешнее, или полезнее, или такую, что превосходит по числу учеников»[55 - GASA (прим. 24), 1: 196. R. Bowers, 'The Almonry Schools of the English Monasteries, c. 1265–1540', in Monasteries and Society in Medieval Britain: Proceedings of the 1994 Harlaxton Symposium, ed. B. Thompson (Stamford, 1999): 177–222, at 191–192.]. Она располагалась сразу за стенами аббатства, и студенты, не принадлежавшие к монастырскому братству, могли учиться там платно. За бедными учениками, не имевшими возможности оплатить обучение, было зарезервировано 16 мест. Присматривал за такими учениками брат-попечитель (монах, отвечавший за благотворительную деятельность аббатства), столовались они также за счет монастыря. Согласно правилу, принятому в 1339 году, неимущие ученики должны были выбривать на голове тонзуру и ежедневно читать заутреню. Их учеба длилась «максимум пять лет, потому что этого времени достаточно, чтобы полностью овладеть грамматикой»[56 - Statutes in British Library MS Lansdowne 375, ff. 97–105, edited in Registrum Abbatiae Johannis Whethamstede (London, 1873), 2: 305–315.].

Это была в буквальном смысле schola grammaticalis – грамматическая школа, как по названию, так и по стоявшим перед ней задачам. Единственным известным нам учебным пособием в ней были классические «Грамматические наставления» Присциана, учебник латинского языка, написанный в VI веке, а на экзаменах сдавали письмо и сочинение. Школа должна была готовить выпускников к монашескому служению, которое, кроме всего прочего, требовало умения читать и петь литургию. Однако переход из школы в монастырь совершался отнюдь не автоматически – по некоторым сведениям, в число неудачников попал даже Николас Брейкспир, будущий папа Адриан IV (1154–1159). Негарантированность результата вкупе с тем, что руководителям школ для увеличения дохода дозволялось принимать платных учеников сверх нормы, создавала запрос на качественное, всестороннее образование.

Серьезной научной подготовки в Сент-Олбанской грамматической школе Джон Вествик, скорее всего, не получил, но наверняка овладел как минимум азами арифметики, в том числе счетом и пониманием сути элементарных функций сложения и вычитания, деления и умножения. Никаких средневековых пособий для начинающих не сохранилось, но распространенные в монастырях учебники математики предполагали, что их читатели уже освоили базовый уровень.

Простые математические действия выполнялись в записи римскими цифрами; когда родился Джон Вествик, шел очень постепенный переход от этой системы к индо-арабским десятичным цифрам, которыми мы пользуемся сегодня. Цифры от 0 до 9 проникли на Запад только в XII веке[57 - См., например: Carmen de Algorismo of Alexander Villedieu. Edited in J. O. Halliwell, Rara Mathematica (London, 1841), 73–83. О десятичной системе счисления в Индии V–VII веков, в особенности о решающем вкладе Брахмагупты (598–668), см.: K. Plofker, 'Mathematics in India', in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, ed. V. J. Katz (Princeton, 2007), 385–514.]. То было великое время научного перевода, когда гуманитарии Испании и Южной Италии в ускоренном темпе перекладывали на латынь важнейшие арабские и греческие научные труды. Новые цифры значительно облегчали сложные астрономические и математические расчеты и постепенно прокладывали себе путь из Средиземноморья в Северную Европу. Огромную роль в популяризации арабских цифр сыграл итальянский математик Леонардо из Пизы, больше известный как Фибоначчи. Но английские монахи, которые с готовностью переняли десятичную систему счисления и обучали ей учеников, прекрасно знали, что пришла она с Востока, через исламские страны из Индии:

«Алгорисми говорит: когда я увидел, как индийцы записывают символ IX своими универсальными цифрами… я захотел узнать, как их можно использовать так, чтобы – с Божьей помощью – учиться было легче»[58 - Cambridge, University Library MS Ii.6.5, fol. 104r. Факсимиле и транскрипция: K. Vogel, Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus: das fr?heste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern (Aalen, 1963); перевод на английский: J. N. Crossley and A.S Henry, 'Thus Spake Al-Khwarizmi: A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms. Ii.vi.5', Historia Mathematica 17 (1990): 103–131.].

Этим предложением открывается сочинение о новых цифрах, переписанное в XIII веке в аббатстве Бери-Сент-Эдмундс в Восточной Англии. Монах из Бери-Сент-Эдмундс написал его на латыни, но ему было отлично известно, что «Алгорисми» изначально создавал свой трактат на арабском языке. Автор оригинального арабского текста – увы, утерянного – энциклопедист IX века Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, жи вший в Центральной Азии. Аль-Хорезми познакомился с индийской арифметикой и принялся активно ее продвигать, когда работал в Багдаде, столице славного своими научными достижениями Аббасидского халифата. Делясь этими знаниями четыре столетия спустя, английский переписчик-бенедиктинец пунктуально зафиксировал их арабское и индийское происхождение.

Европа узнала о новых цифрах из текстов передовых для своего времени трактатов по теории чисел, которую средневековые переводчики на латынь в честь аль-Хорезми называли «алгорисмус»; отсюда произошло и современное слово «алгоритм»[59 - J.N. Crossley, 'Old-Fashioned versus Newfangled: Reading and Writing Numbers, 1200–1500', Studies in Medieval and Renaissance History 10 (2013): 79–109.]. Преимущества применения новых цифр в сложных арифметических и геометрических вычислениях были очевидны, но стоит ли переключаться на новую систему в быту – было не совсем понятно. Хотя все числа в дошедших до нас рукописях Вествика – в обширных астрономических и тригонометрических таблицах, составленных им позже, – записаны цифрами, которые мы ошибочно называем арабскими, свои школьные математические упражнения он записывал римскими цифрами.

Принципиальное различие между римской и индо-арабской записью в том, что последняя приписывает каждому разряду определенное значение. Вес цифры зависит от ее места. В числе 21 цифра 1 означает «один», но в числе 12 она же означает «десять». С римскими цифрами все иначе, там I всегда означает «один», а Х – всегда «десять», и неважно, где цифра стоит: в конце (CIX) или в начале (XIII). Наша десятичная система – только одна из возможных форм позиционной системы счисления. Хотя цифры от 1 до 9 и знак пустого разряда 0 пришли из Индии V или VI века, сама концепция позиционной системы счисления гораздо старше и уходит корнями в вавилонскую, изобретенную где-то до 2100 года до н. э. Эта система счисления, унаследованная и частично перенятая у шумеров древними египтянами, греками и индийцами, была шестидесятеричной (sexagesimal – от латинского слова «шестьдесят»). Понимание шестидесятеричной системы важно для изучения средневековой математики и астрономии.

Вавилоняне записывали числа от 1 до 59 характерными клинообразными значками. (Чем больше было число, тем большим количеством одинаковых значков оно обозначалось – в силу того, что эта система произошла от непозиционной системы счисления; однако читались числа как одно целое.) После 60 вавилоняне использовали те же значки, сдвигая их на шаг левее. Так, например, они писали наше 70 как 110 – для большей ясности мы можем добавить запятую, и тогда получится 1,10. Число слева от запятой – множитель 60. Дополнительная запятая отделяла бы следующий разряд шестидесяти. Число 2,21,40 содержит три разряда: 2 символизирует 2 х 3600, 21–21 х 60, а 40 – это 40 единиц. Соответственно число 2,21,40 в десятичную систему переводится следующим образом: (2 х 3600) + (21 х 60) + 40 = 8500. Система может показаться громоздкой, но вавилонянам было достаточно всего 14 символов, чтобы заставить ее работать, а это почти в два раза меньше, чем 26 символов современного английского алфавита[60 - Древние греки, а вслед за ними и арабы в Средние века обозначали цифры буквами алфавита: 27 букв расширенного алфавита представляли числа от 1 до 9, от 10 до 90 и от 100 до 900.].

Довольно странно наряду с десятичной использовать элементы и шестидесятеричной системы, но мы так и делаем, когда указываем время в часах, минутах и секундах. Моряки до сих пор определяют положение корабля в градусах, минутах и секундах (хотя в наши дни вместо секунд все чаще используют десятую часть минуты), потому что мы все еще держимся за шестидесятеричную систему счисления, унаследованную от вавилонских пионеров науки о времени и пространстве. Джон Вествик вычислял точное расположение планет именно в шестидесятеричной системе счисления.

Мы и сегодня записываем числа иногда словами (например, «десять» или «двадцать»), а иногда – римскими либо индо-арабскими цифрами, но читаем их всегда одинаково – так же поступал и Вествик, и его коллеги-монахи в XIV веке. Даже освоив индо-арабские цифры и шестидесятеричную запись, они не отказались от римских цифр. Безусловно, монахи оценили удобство десятично-шестидесятеричной системы для решения сложных математических задач, особенно если говорить о дробях, и понимали, какие возможности открывает перед ними ее приложение к более широкому кругу проблем, особенно в важнейшей математической науке – астрономии, где было принято делить небо на градусы и минуты. Однако римские цифры были понятными и привычными, что обеспечило им неувядающую популярность вне академического круга. Когда в 1440 году инок из Уоррингтона, городка на северо-западе Англии, взялся переводить с латыни на среднеанглийский язык руководство по изготовлению солнечных часов, он заодно перевел индо-арабские числа в римские[61 - University of Aberdeen MS 123, ff. 66r-67v.]. Уверен, читатели оценили его заботу.

В 1396 году монахи Сент-Олбанса наконец исправили несправедливость длиной в две сотни лет, учиненную Джеффри Горэмом. Когда Джон Вествик родился, поместье Уэствик принадлежало графу Оксфорду, фавориту Ричарда II, но в 1388 году Безжалостный парламент осудил графа Роберта за измену и конфисковал его владения. Восемь лет спустя аббат Сент-Олбанса сговорился о покупке Уэствик-Горэма за 900 марок. Чтобы собрать такую внушительную сумму, пришлось скидываться, и хронист аббатства записал имена монахов и других благодетелей, которые внесли свою лепту. Он аккуратно отметил, какую сумму выделил каждый, – с помощью римских цифр:

«Предмет: получено в порядке дарения от братии и прочих как вспомоществование для покупки владения Уэствик, как то: в дар от владыки Николаса из Редклифа, архидьякона, XL марок. В дар от господина Роджера Хенрида, ризничего, VI фунтов XIII шиллингов IIII пенса. В дар от Томаса Сайдона, слуги аббата, VI фунтов XIII шиллингов IIII пенса…»

Список содержит имена 15 жертвователей и завершается следующими строками:

«В дар от Роберта Транча XI шиллингов & VIII пенсов.

Итого: L фунтов II шиллинга VIII пенсов»[62 - Cambridge, Corpus Christi College, MS 7, f. 98r. Edited in GASA (см. прим. 24), 3: 399–400, 454–457. F. Madden, B. Bandinel and J. G. Nichols, eds., Collectanea Topographica et Genealogica (London, 1838), 5: 194–197.].

Здесь римские цифры используются вперемешку с чем-то довольно близким к позиционной системе счисления: фунтами, шиллингами и пенсами. (Вавилонская позиционная система счисления сложилась на базе единиц такого же типа, приспособившись к измеряемой величине.) В шиллинге было 12 пенсов, а в фунте – 20 шиллингов. Задача усложнялась тем, что деньги считали еще и в марках: одна марка составляла 2/3 фунта, или 13 шиллингов 4 пенса. Николас из Редклифа пожертвовал 40 марок, да и Роджер Хенрид и Томас Сайдон вряд ли намеревались внести в копилку непонятные 6 фунтов, 13 шиллингов и 4 пенса, а скорее всего, выделили круглую сумму в 10 марок. Хронист аббатства суммировал все эти марки, фунты, шиллинги и пенсы и пришел к верному результату (записав его римскими цифрами): 50 фунтов 2 шиллинга и 8 пенсов.

Если такие вычисления кажутся вам каким-то арифметическим подвигом, учтите, что до денежных реформ 1960-х и 1970-х годов школьникам всей бывшей Британской империи приходилось учиться складывать и вычитать двенадцатые и двадцатые доли фунтов, шиллингов и пенсов. (Чуть ли не весь остальной мир перешел на десятичную денежную систему еще в XIX веке.) Если немного попрактиковаться, сложению и вычитанию римских чисел тоже нетрудно научиться. Для начала можно представить себе X, десятку, как единицу – I, перечеркнутую линией, обозначающей, что перед нами сумма десяти таких единиц. V (пятерка) – это десятка (X), разделенная пополам горизонтально. Элементарное сложение, например VII + XVIII, нетрудно выполнить, записав все цифры рядом и переставив их для удобства местами: VIIXVIII превращается в XVVIIIII, а отсюда легко прийти к верному результату: XXV.

На самом деле подобные примеры можно решать и в уме. Для вычислений посложнее римские цифры переводили в более гибкий формат. В своем знаменитом трактате «Об исчислении времен» живший в VIII веке монах из Нортумбрии Беда Достопочтенный – выдающийся энциклопедист – знакомит читателя с двумя способами сделать это: греческая алфавитная система и метод, который он называл «очень полезным и простым умением счета на пальцах»[63 - Bede, The Reckoning of Time, ed. and tr. F. Wallis (Liverpool, 2004), 9.].

Рис. 1.6. Положения пальцев при счете. Иллюстрация из трактата Беды «Об исчислении времен»

Как Беда и другие монахи считали на пальцах в десятичной системе? Вытяните руки перед собой, ладонями от лица (рис. 1.6). Начинать следует слева, с трех крайних пальцев левой руки. Эти три пальца, выпрямленные или полностью либо частично согнутые, показывают единицы от 1 до 9. Вот почему целые числа назывались digiti, что на латыни означает «пальцы»; отсюда и название цифровых технологий (digital)[64 - См., например, The Crafte of Nombryng, from British Library MS Egerton 2622, ed. R. Steele, The Earliest Arithmetics in English, EETS ES 118 (London: 1922): 3–32, at 5.]. Степени десяти отсчитывали, по-разному сгибая и скрещивая большой и указательный пальцы (латинское слово «десять» – articuli – означает «костяшки»). За сотни отвечали большой и указательный пальцы правой руки, а за тысячи – средний, безымянный и мизинец. Таким образом, пальцами можно было показать любое число от 0 до 9999. Пальцам присваивалось конкретное разрядное значение – тысячам, сотням, десяткам и единицам было выделено определенное место, поэтому сложение и вычитание больших чисел трудности не представляли, более того, этим способом можно было даже решать простейшие примеры на умножение.

Самые маленькие числа откладывали на пальцах левой руки, и тому было две причины. Во-первых, в этом случае человек, который стоит к вам лицом, читает число как полагается, то есть слева направо. Жестовая арифметика служила не только для счета, но и для коммуникации. Жесты использовали на рынках, где шум и языковой барьер могли помешать разговору, или в монастырях, где нужно было соблюдать тишину. Беда даже предлагал использовать их в качестве алфавитно-цифрового кода, позволяющего передавать тайные сообщения. Во-вторых, если вы в своих вычислениях не выходите за сотню, правая рука остается свободной, и ею можно делать заметки, куда-то указывать или что-то в ней держать. Изумительно практичная система Беды пришла прямиком из классных комнат, где монахи учились использовать руки для запоминания музыкальной грамоты и определения дат или дней солнечного и лунного циклов.

Для простых вычислений было вполне достаточно пальцев, а вот для сложных использовали calculi – камешки или фишки. Джон Вествик учился работать с числами и наверняка мастерски пользовался абаком – счетной доской. Размещение камешков на расчерченной линиями доске представляло собой разложение числа на разряды. Некоторые разновидности абаков позволяли добавить промежуточную позицию для пяти единиц, пяти десятков, пяти сотен и так далее, и тогда фишек для счета требовалось меньше. В других разновидностях сами фишки были пронумерованы цифрами от 1 до 9, и тогда абак был просто рамкой, разделяющей разряды единиц, десятков, сотен и так далее. Монахи рисовали такие рамки в книгах и манускриптах, расчерчивая их на столбцы, которые часто стилизовали под колоннады своей обители, и раскладывали там счетные фишки. В промежутки между колонками они вписывали свои вычисления[65 - Например: Oxford, St John's College MS 17, ff. 41v-42r (Thorney, 12th century), http://digital.library.mcgill.ca/ms-17 (http://digital.library.mcgill.ca/ms-17).].

Абаками активно пользовались вплоть до Нового времени, несмотря на широкое распространение других, более совершенных техник счета. В сочинении «Жемчужина философии», популярнейшем учебнике, написанном картезианским монахом Грегором Рейшем и выдержавшем в XVI веке 12 изданий, раздел, посвященный арифметике, начинается с гравюры, иллюстрирующей два подхода к предмету (рис. 1.7). Слева – Боэций, позднеримский теоретик свободных искусств. Еще один энциклопедист (для средневековой науки всесторонне одаренные люди не редкость), Боэций писал труды по логике, музыке и арифметике, но наибольшую известность ему принесло «Утешение философией», размышление о природе человека. Книга оставила глубокий след в веках: только на английский язык ее переводили Альфред Великий, Джеффри Чосер и Елизавета I[66 - Вклад (если таковой был) Альфреда в приписываемый ему перевод подвергается сомнению; см. J. Bately, 'Did King Alfred Actually Translate Anything? The Integrity of the Alfredian Canon Revisited,' Medium ?vum 78 (2009): 189–215. Перевод, сделанный Елизаветой в 1593 году, сохранился в ее собственноручной записи (Kew, National Archives SP 12/289).]. В этом сочинении Боэций, как многие астрономы до и после него, размышлял о необъятности Вселенной, космически малой величине Земли и холоде далеких звезд. Его присутствие на гравюре напоминает читателям, что математика – нечто большее, чем абстрактные величины.

Рис. 1.7.Арифметика. Фронтиспис четвертого тома «Жемчужины философии» Грегора Рейша (1503). Иллюстрация Альбана Графа

Справа на гравюре изображена фигура равной значимости: это Пифагор. Великий греческий философ выкладывает на счетной доске числа 1241 и 82. Самая дальняя от него линия – это тысячи, следующая – сотни, и так далее, но обратите внимание: между линиями десятков и сотен выделено место для полусотен. Боэций же демонстрирует индо-арабские цифры и их преимущества для записи дробей. Между ними стоит госпожа Арифметика, ее платье украшено степенями двойки и тройки. Хотя в конечном итоге индо-арабские цифры, для операций с которыми достаточно было пера и бумаги, победили (чем они в значительной степени обязаны появлению бухгалтерского учета и сложных банковских операций), счетные доски благодаря своей бесспорной универсальности продолжали применяться и в Новое время. В умелых руках они не уступают электронным калькуляторам. В 1946 году в Токио состоялось захватывающее публичное состязание между японским абацистом и американцем, считавшим на калькуляторе. Победу одержал абацист, который в решении серии сложных математических задач продемонстрировал как невероятную скорость, так и высокую точность вычислений[67 - T. Kojima, The Japanese Abacus: Its Use and Theory, quoted in L. Fernandes, 'The Abacus vs. the Electric Calculator', https://www.ee.ryerson.ca/~elf/abacus/abacus-contest.html (https://www.ee.ryerson.ca/~elf/abacus/abacus-contest.html).].

Менее опытным пользователям счетная доска могла пригодиться для записи промежуточных результатов вычислений. Средневековые математики знали множество способов упростить вычисления, разбивая задачу на серию операций, которые можно было произвести в уме или с помощью абака. Джон Вествик наверняка владел какими-то из них. Один способ, который называют по-разному: умножением по методу русских крестьян или египетским методом, был придуман независимо в нескольких странах, и ему вполне могли обучать и в Сент-Олбанской школе. Он сводит объемные и сложные примеры на умножение и деление к серии удвоений и делений пополам. Популярность этого метода может объяснить, почему в первых учебниках арифметики, использующей новые индо-арабские цифры, умножению и делению числа на два учили как отдельным операциям – чему-то среднему между сложением и умножением.

Красота метода удвоения и деления пополам – в том, что единственное, что вам нужно знать, – это как прибавить число к самому себе. Пусть вам нужно умножить 43 на 13. Запишите эти числа рядом и начинайте удваивать большее и делить пополам меньшее (отбрасывая остаток). Вот что у вас получится: