скачать книгу бесплатно
Не надо воспринимать историю математики как математику. Тут почти не бывает (и в определенной степени не может быть) строгих доказательств исторических фактов.
/*По поводу исторических доказательств в истории математики сохранился также еще один анекдот. Андрей Николаевич Колмогоров, один из великих математиков 20 века, сначала хотел быть историком. И как-то раз, выступая на научном семинаре сделал доклад, полностью обосновав и доказав свою точку зрения. Руководитель семинара Колмогорова очень хвалил, но сказал, что для достоверности каждый исторический факт должен быть подтвержден несколькими разными доказательствами. Так и закончилась карьера Колмогорова-историка: он решил уйти в науку, где для доказательства истинности одного доказательства достаточно!*/
Фалес был великим мыслителем, и прославился не только математическими открытиями. Кроме вышеперечисленных фактов он доказал, что вертикальные углы равны и в каком-то виде знаменитую теорему Фалеса – скорее всего только прямую; первый описал круг вокруг прямоугольного треугольника и скорее всего, первый же доказал, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.
Кроме математических результатов, Фалес известен также своими астрономическими открытиями. Наиболее яркое из них – он предсказал солнечное затмение в 585 году до н.э.; указал морякам, что ориентироваться надо по Малой Медведице, как делали это вавилоняне, а не по Большой (как вслед за египтянами было принято у греков). А кроме того, Фалес был удачливым торговцем, торгуя оливковым маслом, он сколотил состояние.
В путешествиях Фалес познакомился как с египетской наукой (которая, кстати, была довольно известна в Древней Греции), так и с вавилонянской (вот с преемственностью от вавилонян у греков было хуже – они почему-то очень точечно получили от них знания). От одних он знал одну форумлу площади круга , от других – другую 3r
. Так где же истина и кто же прав? Как отличить правильные знания от приближенных и ошибочных? С помощью логики и доказательств. Именно поэтому Фалес передоказывает "азбучные истины", факты и так всем хорошо известные (например, то, что диаметр делит круг на две равные части).
Вот так вот появляется математика. И все это, конечно, хорошо и замечательно. Но. Но Фалес – ученый и торговец. Он доказывает теоремы и торгует оливковым маслом. На самом деле, при всем уважении, но его труды никак не могли способствовать тому, что математика в Древней Греции мало того, что взрывообразно развивается, но еще и становится царицей наук и практически возводится в ранг религии. А вот за это все ответственен Пифагор.
3.2
Самосский тоннель
Тут мне бы очень хотелось упомянуть, что в прикладную математику древние греки тоже умели.
В середине 6 века до н.э. (приблизительно в 530 году до н.э.) Евпалин построил водопровод на острове Самос. Примечательность состоит в том, что водопровод строили сквозь гору Кастро, копая одновременно с двух сторон. А самое примечательное в точности наведения: благодаря ловким геометрическим рассчетам, проведенным Евпалином, расхождение по горизонтали (в точке схода двух кусков тоннеля) не более метра. Расхождение по вертикали и вовсе 4 сантиметра! Длина тоннеля при этом больше километра.
Когда за 100 лет до этого подобный тоннель строили возле Иерусалима, он получился зигзагообразным и длина тоннеля в два раза превышает расстояние между его концами.
С античных времен этот тоннель был забыт. Но в трудах Геродота был составлен список "Чудес света". Это самый первый в мире (известный сегодня) список чудес света, Геродот туда включил всего три объекта, среди которых этот самый Самосский тоннель. Прочитав о тоннеле в трудах Геродота, тоннель принялись искать – и нашли, раскопали в 1882 году. С тех пор это туристическая достопримечательность.
Лекция 4
.
Пифагор
"Пифагор… является в интеллектуальном отношении одним из наиболее значительных людей, когда-либо живших на земле… я не знаю другого человека, который был бы столь же влиятельным в области мышления, как Пифагор." Бертран Рассел.
Пифагор – фигура полумифическая, полулегендарная. Конечно, мы уже сто раз говорили, что началось "историческое время" и есть куча письменных источников о Пифагоре, написанных его современниками и недавними потомками. Позже мы будем говорить про Платона – все (!) его труды сохранились. Поэтому мы можем многое узнать о его взглядах, об укладе его жизни и т.д. А вот жизнь Пифагора… тут сложно отделить легенды от достоверной истины. Во-первых, сам Пифагор никогда ничего не писал. Писали его ученики (но их записи о Пифагоре до нас не дошли). Первые исследования жизни Пифагора появляются примерно через 200 лет после его смерти.
А подробнее всего его жизнь и воззрения описали неопифагорейцы, 700-800 лет спустя. Неопифагорейцы хотели на основе учений Пифагора и Платона создать новую религию, которая должна была противостоять набирающему обороты христианству. Но в работах пифагорейцев о жизни Пифагора рассказано много чудес. Например, о нем писалось, что дикие животные и хищные птицы сами приближались к нему и позволяли себя гладить. Что однажды Пифагор сказал реке Сирис: "Здравствуй, Сирис!". И все слышали, как река Пифагору ответила: "Здравствуй, Пифагор!" И прочие рассказы, подчеркивающие исключительность Пифагора, избранность. В чем-то напоминающие рассказы о жизни Христа.
/*Надо написать рассказ (а то и роман. Или цикл романов) в жанре альтернативной истории, где в битве за основную европейскую религию победило не христианство, подарившее Европе Темные века, а неопифагоризм.*/
Рисунок 4.1: Пифагор. ок.570 – ок.490 гг. до н.э.
Поэтому надо понимать, что про Пифагора – это все из области сказок и легенд.
Всем известно, что рождение Пифагора предсказала пифия в Дельфах, сказав, что он принесет столько пользы людям, как никто иной. Именно поэтому его родители так и назвали ("предсказанный пифией").
Внешность Пифагора описывали так: красивый высокий мужчина в восточном тюрбане.
В детстве Пифагор жил на острове Самос, но в молодости начал много путешествовать и встречаться с мудрецами того времени. В юном возрасте поехал в Египет, перенимать тамошнюю премудрость. Греки вообще, как уже упоминалось, считали Египет колыбелью науки. Чтобы в Египте ему писцы рассказали секретную науку, самосский тиран Поликрат дал Пифагору личную рекомендацию к фараону Амасису. Из Египта Пифагор попал в плен к персам. Попав в плен, Пифагор так шикарно себя зарекомендовал, что ему разрешили изучать математику и астрономию у местных жрецов. В итоге за его великий и непревзойденный ум, персы его освободили из плена (по другой версии, знатный грек увидел его в плену и выкупил; по третьей версии, его вообще никто в плен не брал, а он там был просто в обычной тур.поездке).
Все путешествия Пифагора заняли лет 20. По возвращении на свой родной Самос он довольно быстро поссорился с вышеупомянутым тираном Поликратом, и был вынужден эмигрировать в другой греческий город Кротон (который находится на территории современной Италии, на берегу Ионического моря). В Кротоне Пифагор прожил 40 лет. И именно там основал свою Школу.
С Поликратом он поссорился по вполне понятной причине. Он начал активно заниматься политикой. И выступал он за аристократию, однако же не за аристократию крови, а за аристократию интеллектуальную. Он считал, что люди умные и образованные должны править остальными, должны быть высшей кастой. Конечно же, Поликрату, потомственному тирану, это не могло понравиться. Впрочем, именно за эту же его активную политическую позицию 40 лет спустя разгромили его Школу в Кротоне, откуда ему тоже срочно пришлось убегать.
Что Пифагору не нравилось в древней восточной математике? Во-первых, Не было доказательств. Формулы были, и почему-то они соответствовали практике. Но почему? Никого это не волновало. В некотором смысле, можно считать, что прикладная математика уже была, а чистой еще не было. Во-вторых, поэтому не было никакой мотивации изучать, а тем более "двигать" математику. В-третьих, не было никакой системы математического образования. Хочешь изучать математику – иди в жрецы. Поэтому Пифагор решил основать свою Школу.
Итак, основывая свою Школу, Пифагор тем самым решает третью проблему – проблему отсутствия математического образования. Хотя надо сказать, что на деле в школе изучалась далеко не одна только математика (а, например, еще и "основы праведной жизни"), но даже в математику включались такие 4 основные раздела: учение о фигурах и измерениях (геометрия), учение о числах (арифметика), теория музыки (гармония) и астрономия (астрология).
Рисунок 4.2: Федор Бронников. Гимн пифагорейцев восходящему солнцу
А зачем же изучать математику (т.е. какая же у нас мотивация)? Пифагор во многом, не просто учитель – он пророк. Если Будда (живший, кстати, примерно в одно с ним время) считал, что человек входит в нирвану через внутренний покой и ничего неделание, то Пифагор призывал к чисто интеллектуальному деянию, сопряженному с интеллектуальным экстазом. А самый высший кайф – думать не о мире реальном, а о мире идеальном. Думать о том, чего в мире нет, думать так, чтобы испытывать восторг от работы мысли. /*Всем же нам, математикам, известен восторг на грани с экстазом от решения трудной задачи, доказательства новой теоремы! Так вот, это и есть цель жизни, смысл жизни по Пифагору.*/ До Пифагора математика была прикладной наукой, ориентированной на решение жизненных задач. После стала наукой об идеальных сущностях, не существующих в реальности.
Конечно, именно Фалес изобрел первым идею, что все нуждается в доказательстве. Но именно Пифагор эту идею возвел в ранг религии и распространил ее среди своих последователей. Без Пифагора математика могла бы так и умереть в зародыше.
Смысл математики как раз в том, чтобы дать человеку (пусть и на время) свободу от реального мира, вывести его из бесконечной цепи смертей и рождений (как и все в те времена, Пифагор верил в переселение душ), сделать человека счастливым.
Рисунок 4.3: Питер Пауль Рубенс. Пифагор проповедует вегетарианство.
Таким образом, Пифагор в первую очередь не ученый, нет, он пророк. Цель его жизни не в том, чтобы познать математику. Цель его жизни в том, чтобы научить людей быть счастливыми (правда, посредством математики).
К сожалению, нам совсем ничего не известно о том, что доказал сам Пифагор. Самое известное математическое открытие, связанное с его именем, теорема Пифагора, скорее всего, была ему известна с доказательством только в случае равнобедренного треугольника. (Хотя формулировка точно была известна в общем). Сама теорема Пифагора была известна в Древнем Китае и Древней Индии намного раньше, чем жил Пифагор. Но от них Пифагор узнать эту теорему не мог (с ними научного общения в те времена не было ни в каком виде). С другой стороны, все ученики школы Пифагора считали своим долгом все свои математические
результаты подписывать именем Пифагора, хотя они тоже к нему никакого отношения не имеют.
Однако, в пифагорейской школе действительно много математических открытий и математических знаний. Например, пифагорейцы умели считать сумму начала натурального ряда и сумму первых нечетных чисел . Знали формулы сокращенного умножения. Что характерно, все арифметические формулы они снабжали геометрическим доказательством.
Число, являющееся суммой всех своих делителей (кроме него самого, конечно), пифагорейцы называли совершенными. Например, 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. В «Началах» Евклида утверждается, что еще пифагорейцы доказали, что если 1+2+4+…+2
= p, где p – простое число, то 2
p – совершенное число. (И только в 18 веке Эйлер доказал, что других совершенных чисел не бывает! То есть, пифагорейцы уже знали (описали) все совершенные числа).
Похоже, что именно в школе Пифагора совершили открытие иррациональных чисел (а именно, доказали, что число иррациональное).
Активно пифагорейцы изучали и музыку. Например, если уменьшить длину струны или флейты вдвое, то тон ее повысится на одну октаву. Если уменьшить в и в раза, то этому будут соответствовать интервалы квинта и кварта. Вообще, пифагорейцы полагали, что музыку можно просчитать. Что при таких-то параметрах будет звучать благозвучно, а при других нет.
Короче говоря, хотя совершенно неизвестно, что же сделал в математике Пифагор, главное – он сделал математику мейнстримом, хайпом, даже религией. Благодаря Пифагору, все образованные греки мечтали заниматься математикой, а все состоятельные греки мечтали, чтобы хотя бы их дети познали эту прекрасную науку.
После разгрома Школы, Пифагор скрылся. Опять же, достоверно ничего не известно, некоторые утверждают, что он сгорел в пожаре вместе со школой. Другие – что удалился на покой и счастливо прожил еще лет 10-15 в кругу семьи. Но пифагорейцы после разгрома точно расселились по всему греческому миру. И стали нести учение Пифагора и веру в математику повсюду.
Лекция 5.
Платон
Вообще говоря, Платон-то математиком не был. Любой экскурс в историю математики мог бы прекрасно обойтись без Платона. Почему же в этой книжке, такой короткой, без Платона-таки не обошлось?
Платон – в философском плане последователь Пифагора с одной стороны. А с другой стороны, он идеи Пифагора во многом завершил, оформил, и именно четкий след Платона прослеживается позже в том, что говорили Декарт, Спиноза и многие другие философы; да и вообще во всей истории объективного идеализма Платон нехило так наследил, раскидав то тут, то там отсылки в математику.
/*Когда я училась в универе, наш препод философии рассказывал нам, что в зависимости от ответа на главный вопрос философии (что первично, материя или идея?) все мыслители всех времен всегда делились на две большие категории. Материалисты и идеалисты (а идеалисты в свою очередь на объективных и субъективных). Дальше он нам доказывал, и очень убедительно (с его точки зрения, разумеется, мы же математики, для нас слова "убедительно" и "философ" не могут стоять в одном утвердительном предложении), что материализм – это правильно и нормально; а идеалисты, которые субъективные – они просто сумасшедшие, а те, которые объективные – религиозные фанатики (читай: тоже не очень-то здоровы психически), потому что объективный идеализм ни что иное как религия. Ну, так вот. Математика (с некоторой точки зрения) – это типичный пример объективного идеализма. (И это очень хорошо показано в философии Платона). В математике идея всегда идет вперед ее материального воплощения. Поэтому с философской точки зрения иначе как религией математику назвать вообще никак нельзя.
Ну, а мы, математики, все сплошь как один получаемся религиозные фанатики. */
Рисунок 5.1: Платон. примерно 428 – примерно 348 гг. до н.э.
Но основа моего рассказа – не история математики, как таковая, а скорее попытка проследить, повлияла ли математика на общечеловеческую культуру и историю. И с точки зрения того, как же математика повлияла на общечеловеческую (хотя бы общеевропейскую) культуру в целом, на философию, на человеческое мышление, разговор никак не может обойти стороной такую глыбу мысли, как Платон. На фреске Рафаэля "Философия" (см. рисунок 3.1 на стр.33) Платон – центральная фигура (что-то объясняющий своему спутнику человек в красном балахоне в самом центре).
Платон родился примерно 70 лет спустя после смерти Пифагора. Пифагор еще не был нереальной легендой, а был довольно близкой историей (как для моих студентов, например, Фихтенгольц, а для меня – ну, предположим, Марков, который изобрел "цепи Маркова" – главный принцип, на котором сейчас работают нейросети и искусственные интеллекты). Пифагорейцы были очень активны и рассеяны по всей Греции. Уезжать в путешествия для получения образования Платон вовсе не хотел, он хотел получить образование в колыбели культуры – в Афинах, в школе Сократа. Но увы и ах, школу Сократа тоже закрыли, Сократ умер, и Платон, чтобы продолжить свое образование, вынужден был путешествовать. Ездил он и в Египет по следам Пифагора, и в Кротон (где была пифагорейская школа), и в африканскую часть Древней Греции, в Сиракузы (где позже появится Архимед). Именно в этом путешествии Платон и научился математике. Однако же, кроме математики, узнал много чего еще. В конце-концов, вернулся в Афины, где основал первое в истории высшее заведение – Академию Платона. Которая просуществовала в итоге больше 900 лет! (закрыта лишь в 529 году нашей эры).
Над входом в Академию Платона висел слоган «Не знающий геометрию – не войдет!» Более того, во все времена существования Академии, этого слогана, безусловно придерживались. /*Ах, как было бы хорошо, если бы подобный слоган был руководством к действию в современных вузах. Ну, или хотя бы на математических факультетах!*/
Когда мы говорили о Пифагоре, мы обсудили, что математика родилась в учении Пифагора из философии и религии. Теперь, при Платоне, 100 лет спустя, работает много профессиональных математиков (людей, у которых основное занятие в жизни – доказывание теорем). Многие из них – вовсе не пифагорейцы, просто им нравится математика. И вот теперь, когда математика уже хорошо развита, математика начинает влиять на философию, на мировоззрение.
Для лучшего понимания философских идей Платона, никак невозможно обойтись без его учения о идеях. Лучше всего, конечно же, читать "Миф о Пещере" в Диалогах Платона [19], но я кратенько перескажу.
Представим себе людей, которые прикованы в темной пещере, и смотрят на освещенную стену. Они не могут шевелиться и видят только стену. За их спиной проносят реальные предметы, которые отбрасывают
стену тени. И люди способны увидеть и познать только лишь эти тени, реальные предметы – вне поля их зрения. Очевидно, если человек выйдет из Пещеры на яркий свет, ему будет плохо и дискомфортно. Но если он пересилит себя, и останется на свету, постепенно он поймет, что ему хорошо, а плохо было раньше, прикованным в пещере, во тьме. И человек узнает, что знал не настоящие вещи, а лишь их тени. Но если он вернется в пещеру и начнет рассказывать, что тени – всего лишь тени, ему не поверят. И на свет с ним идти, возможно, не захочет никто.
Ну, так вот. Платон считал, что мы все, подобно тем узникам в пещере. А настоящий, большой мир – это мир идей. Идея предмета – реальная, настоящая, первичная. Есть много животных, которых мы можем назвать Кошка. Но это ненастоящие кошки, это лишь тени одной, настоящей идеальной кошки (кошки-идеи) из мира идей. (Так на примере котиков объясняет Бертран Рассел философию Платона).
Это очень математичная идея. Мы можем соорудить в жизни куб? Можем, конечно. Но углы у него будут не четко
, длины сторон чуть-чуть, да отличаться, да и в целом будут немного не ребра, а закругления на стыке граней. Этот куб не будет идеальным кубом. Но есть куб-идея. Идеальный куб. И математики никогда не исследуют материальный куб. Они всегда исследуют куб-идею (у которого все углы ровно
, ребра все с бесконечной точностью равны и т.д.) А исследования этого идеального куба приводят нас к выводам о его бледных подобиях в окружающем нас мире – кубах материальных.
По мнению Платона, после смерти души людей попадают как раз в Мир Идей. И чьим же душам лучше всего? Душам Мудрецов. Эталон истинного Мудреца обладает у Платона определенными качествами: бесконечная любовь к размышлениям, благожелательность, равнодушие к чувственным удовольствиям, внутреннее спокойствие и обязательное отсутствие страха смерти (ведь после смерти ты попадаешь в лучший мир – из Пещеры к Свету). Близко к идеям христиан, только содержит дополнительный интеллектуальный элемент (который не нужен христианам в их религии).
Платон считает, что любое знание – это припоминание. Душа человека вне кратких мигов своей земной жизни (как после нее, так и до нее – душа вечна-бесконечна) живет в Мире Идей. Таким образом, душа при рождении знает все идеи, только забывает их от шока, попадая в наш мир. Поэтому Платон относится к знанию как к припоминанию. (По этому поводу можно почитать его диалог "Менон" [19], где он это наглядно показывает).
В математике имя Платона присвоено одному примечательному объекту (точнее будет сказать, набору объектов) – Платоновым телам. Платоновы тела – это правильные многогранники. Вот правильных многоугольников бывает бесконечно много. Правильный треугольник (он же равносторонний), правильный четырехугольник (он же квадрат), правильный пятиугольник и далее любой правильный n?угольник (все они существуют). А вот правильных многогранников (т.е. таких объемных тел, у которых все ребра равны, все грани равны, все углы равны (как плоские, так и двугранные) – ну, короче, всех таких из себя правильных) таких многогранников существует всего-то пять штук!
Почему они названы именем Платона, не очень понятно. На самом деле, три из пяти правильных тел были точно известны еще Пифагору. А оставшиеся два открыл современник Платона математик Теэтет (и он же первый доказал, что их ровно пять, и больше не бывает). Теэтет открыл и доказал, а назвали именем Платона. Возможно потому, что Платон написал о них в своем диалоге "о природе" (а отсюда уже знание о них распространилось; художественную литературу все же читают намного чаще, чем специальную математическую). Может, это не честно, но уж как есть. Это называется "исторически сложилось".
Теэтет вообще был классный математик. Его еще называют создателем геометрической теории чисел. Например, он придумал, как геометрически показывать Алгоритм Евклида. Или доказал, что если квадратный корень (из целого числа) – не целое число, то и не рациональное тоже. (Это очень круто. Если вы знаете эту теорему Теэтета и, например, умеете доказывать, что , но при этом – вы доказали, что 101 – иррациональное число). Похоже, что и основную теорему арифметики (про то, что каждое число раскладывается в произведение простых, причем, однозначно), первым доказал тоже Теэтет! Вот такой был замечательный математик, а его имя почти кануло в летах. /*Вот признайтесь, правда ведь, что вы про Платона раньше знали, но думали, что он математик, а про Теэтета – даже не слышали? Хотя, возможно, вы сами математик, тогда вам простительно!*/
Представьте, насколько современную литературу писал для своего времени Платон? Открыли теорему о платоновых телах – он сразу их включил в свои "Диалоги". Причем, Платон всегда включал в свои диалоги математику очень по существу и со знанием дела. Однако же, сам математиком не был. Все-таки, он считал математику – путем к мудрости, но не ее вершиной. Частным случаем. Особенно ему не нравилось неистребимое желание математиков делить программу на подпрограммы (то есть, тьфу, великую, большую, красивую задачу на какие-то мелкие ничтожные подзадачи). Вершиной же всего-всего Платон считал еще более оторванные от реальности размышления – философию.
Лекция 6
.
Евклид. Начала.
Рисунок 6.1: Страница из первого печатного издания «Начал», 1482 год
Венцом древнегреческой математики считается книга, написанная Евклидом, под названием «Начала». Сейчас бы такую книгу назвали «Начала математики», «Начала геометрии», ну начала чего-то ведь! Но Евклид был скромным, и уточнять, Начала чего, не стал.
По количеству переизданий и выпущенных за всю историю копий, Начала Евклида не имеют себе равных среди светских (нерелигиозных) книг. Годом изобретения книгопечатания (в Европе) считается 1445 год и первым делом была напечатана, конечно, Библия (потом Псалмы и т.д.). Но первое издание «Начал» не заставило себя долго ждать, и вышло в 1482 году (это очень быстро!). Кстати сказать, до Библии массово печатались только две вещи: религиозные гравюры и игральные карты ))))
Так вот, тут есть некий исторический парадокс. «Начала» Евклида сохранились идеально! (они написаны примерно в 300 году до н.э. и до их первого печатного издания переписывались и переписывались от руки. Гуляли по странам, континентам и частям света, чтобы вновь вернуться в Европу – но текст исходных «Начал» при этом сохранился! (Плюс иногда добавлены ценные комментарии, но которые сами оформлены именно как комментарии). При том, что про книгу хорошо все известно, никто не знает, когда же жил ее автор, Евклид! И не только "когда", а вообще, про него очень-очень мало что известно. /*Как же хорошо, что с тех пор изобрели интернет! Теперь про всех всем всё известно.*/
Евклид жил в Александрии (территория современного Египта), и был очень книжным человеком. Малообщительным. Прокл в своем комментарии указывает, что Евклид должен был жить во времена Птолемея I (это египетский царь, а про царей гораздо лучше сохранилось все в истории, чем про ученых). Вот, собственно, это мы и знаем о Евклиде.
Комментарий Прокла, кстати, мы с вами уже упоминали (именно в нем возникает имя Фалеса как отца математики). Кроме того, в своем комментарии Прокл делает краткий экскурс в историю древнегреческой математики с момента возникновения (Фалеса) до момента написания книги.
В своих «Началах» Евклид постарался собрать всю известную на тот момент математику. По большей части ему это удалось. В «Началах» 13 книг. Первые 6 – это планиметрия. Затем четыре книги – арифметика и немного алгебра, которые излагаются по большей части на геометрическом языке. Последние три главы – стереометрия.
Если раньше мы уже говорили, что шумеры и египтяне занимались геометрией как прикладной арифметикой, то греки делают все совершенно наоборот. Всю арифметику, алгебру и теорию чисел стараются греки облечь в геометрическую формулировку. Например, как формулируется иррациональность числа ? Всегда только так: "диагональ квадрата несоизмерима с его стороной" (несоизмерима – это и означает, что никак с помощью стороны измерить нельзя. Не находится со стороной ни в какой приличной пропорции).
Вавилоняне ничтоже сумняшеся складывают площадь квадрата с его периметром. Греки никогда такой вольности не допустят, ведь площадь и периметр – это не числа для них, а разные сущности. Число греки не называют числом не потому, что не знают иррациональных чисел, а потому что в их определении под словом "число" подразумеваются только натуральные числа. Рациональные числа в их терминологии – "отношения (чисел)" (рацио). А иррациональные? Это странные сущности, не являющиеся рациями. Когда вавилоняне не могли найти точное значение, они заменяли его приближением – и на этом все. Греки всегда искали
точное значение.
Рисунок 6.2: Страница из рукописного экземпляра "Начал", IX век н.э.
/*С тех пор у математиков принято именно так. Мы знаем приближенные значения чисел, но мы не отождествляем их с этими числами. Математик скорее откусит себе язык, чем скажет, что "? равно 3.14". Скорее всего, математик не будет уточнять, скажет просто ?. Если очень попросите, то скажет, что "? примерно равно
3.14".
Но самый настоящий математик вам этой информации не выдаст и до последнего на вопрос: "Так чему же равно ??" – даже под страхом смерти будет настаивать на том, что ? равно отношению длины окружности к ее диаметру (и конечной или периодической десятичной дробью не выражается).*/
«Начала» практически до конца XIX века считаются образцом логических построений и предельной четкости изложения. Именно по образу и подобию начал строят свои книги Декарт, Ньютон, Спиноза (не только труды математические, но и труды философские), а также практически все математики с тех времен.
Сначала идут определения. Например, определение окружности и круга, тупого, острого, прямого угла и т.д. Потом идут так называемые "Постулаты" (пять знаменитых постулатов Евклида нам позже встретятся в главе «Что такое неевклидовы геометрии?»), аксиомы. Постулаты – это высказывания, которые не нуждаются в доказательствах. Постулируется (допускается), что такие-то и такие-то утверждения верны. И из этих утверждений выводятся разные теоремы. Если мы изменим постулаты, то сможем выводить совершенно другие теоремы (Евклид этого еще не знал, но уже догадывался, перед постулатами он написал: "Допустим, что...."). Аксиомы – это тоже высказывания, не нуждающиеся в доказательствах, но обычно аксиомы не подлежат сомнению. Не подлежат смене. Собственно, слова "аксиома" и "постулат" – синонимы. Но в геометрии ("так исторически сложилось" – смешная фраза, но уж как есть) принято отделять аксиомы и постулаты.
У Евклида к аксиомам отнесены как бы общематематические вещи (например: "равные одному и тому же равны между собой" – это, скорее, относится не к геометрии, а к определению слова "равны"; или "Половины одного и того же равны между собой" – а это тоже, скорее, не аксиома, а определение слова половина. Ну, и т.д.), а к постулатам уже вещи сугубо геометрические: "две любые точки можно соединить прямой", "из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг" и т.д.
У Евклида как излагаются определения, постулаты, так же и теоремы, но и разобрано много задач с решениями. Очень много среди них – задачи на построение чего-либо циркулем (правда, под циркулем Евклид понимал что-то чуть-чуть другое) и линейкой.
/*Всем, кто хочет почувствовать себя Евклидом, я крайне рекомендую игру, которая называется Euclidea (https://www.euclidea.xyz/). Очень сложная, но и очень крутая! Задача №2 из Начал – это задача 6.5 из этой игры (возможно, в будущих версиях программы номер задачи изменится, конечно. Задача называется "Окружность заданного радиуса"). Вообще, в игре много задач из Начал.*/
6.1
А чего же в «Началах» не было?
Все, да не все включил в книгу Евклид. Скажем, задачи на построение циркулем и линейкой он включает, а любые задачи на построение с помощью других инструментов – нет, не включает.
Так в «Начала» Евклида не входят три знаменитые неразрешимые задачи на построение (см.[12]).
Рисунок 6.3: Решение Архимеда задачи о трисекции угла
методом "вставки".
Задача удвоения куба. Построить отрезок такой, чтобы куб с таким ребром имел вдвое больший объем, чем заданный. (Иначе говоря: дан отрезок, построить другой отрезок, который будет длиннее данного раз).
Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, равновеликий заданному кругу (или же наоборот: построить круг, равновеликий заданному квадрату)[6 - То, что эти задачи равнозначны, древние греки прекрасно знали. Если научиться решать одну из них, другую они понимали, как решать.].
Трисекция угла. Разделить угол на три равные части (не на две, как биссектрисой, а на 3).
