Владимир Живетин.

Методы и средства обеспечения безопасности полета



скачать книгу бесплатно

– проценты П(·);

– вероятности Р2 катастрофы, аварии;

– динамические свойства изучаемой микроавиационной системы;

– внедрение новых методов и средств, увеличивающих пассажиропоток и уменьшающих расходные средства организации полетов.

Динамические свойства системы проявляются, прежде всего, в потоке поступления, через величину ?. При этом чистое запаздывание ? – время, в течение которого реализуются вложенные средства и возвращаются в систему. Величина ? зависит от регулярности полетов и увеличивается, если самолет вынужден откладывать полеты, например, по погодным условиям. Кроме этого ? зависит от технических средств обслуживания в аэропорту, времени или скорости полета.

Применение полученной модели для анализа и прогнозирования эффективности функционирования микроавиационной системы начнем с приведения ее к простейшему линеаризованному виду.

1.3.3. Линейная технико-экономическая система второго порядка

Получить аналитическое решение данной нелинейной системы уравнений с запаздывающим аргументом невозможно. Это делает невозможным аналитический анализ функционирования микроавиационной системы, включая отыскание совокупности управляемых параметров, при которых она прибыльная или убыточная. Чтобы преодолеть данную трудность, введем упрощающие допущения (предположения). Начнем изучение системы на примере простейших моделей. Затем перейдем к более сложным.

Первое допущение: поток расходов ?e пропорционален объему финансовых средств микроавиационной системы, т. е. D(t). В этом случае имеет место равенство D = ?D?e(t). Это допущение принципиальное, так как переводит нелинейное уравнение (1.3) в разряд линейных. При этом, предполагая, что ?D = const – коэффициент (размерность – время), характеризующий возможности реализации финансовых средств системой во времени, получим . Тогда первое уравнение в системе (1.3) запишется в виде



где ?e0 = D0/?D – начальное значение ?e(t) при t = t0.

При этом ?D, имея размерность времени, характеризует инерционное запаздывание потока расходов ?e(t) по отношению к потоку поступления ?n(t). Введение инерционного запаздывания ?D является параметризацией процесса, при котором сложная зависимость между расходами и имеющимися финансовыми средствами сводится к определению одного параметра ?D. При этом мы вносим погрешность, которую не можем оценить без дополнительных исследований системы, например, методами параметрической идентификации.

Второе допущение связано с устранением чистого запаздывания в функциональном уравнении (1.6).

Однако такой переход связан с введением дополнительного дифференциального уравнения, что создает условия для новых погрешностей модели. При этом происходит замена чистого запаздывания на приближенное инерционное запаздывание. С целью такой замены в (1.6) введем обозначение s = – ?, тогда получим


?n(s + ?) = ?p(s)[1 + П*(s)].          (1.10)


Предположив, что функция ?n(s + ?) дифференцируемая, разложим ее в ряд Тейлора по степеням ?. Следующее важное допущение: функция ?n(s) линейная относительно s, т. е.


?*ss = ?*sss = … = 0.


Данное предположение нуждается в уточнении.

С учетом принятого допущения, имеет место следующая аппроксимация:



Дадим геометрическую интерпретацию записанного соотношения (1.11). На рис. 1.16 приведены известные понятия производной от функции ?n(s). В точке s = – ? имеет место ?n(s) = 0 от кредита, выданного на время ? в момент времени – ? = s. Мы вычисляем ?n(t), т. е. ?n в момент возврата кредита. В силу сказанного, из (1.12) следует



Рис. 1.16


так как ?n(s) = 0. Здесь используется основное допущение, принятое выше, о дифференцируемости функции ?n(t). В рамках данной модели мы находимся в дискретном пространстве. Переход к непрерывному множеству – очередное допущение, которое необходимо анализировать с позиции погрешностей итогового результата, например, при параметрической идентификации.

Подставив (1.11) в (1.10), заменяя s на t в силу произвольности s, получим



В общем случае нелинейная зависимость ?n(s+?) заменена линейной ?n(s), а чистое запаздывание ?, свойственное системе, заменено на инерционное ?k, свойственное динамической системе. Однако инерционное и чистое запаздывания не равны. При этом имеет место приближенное равенство


? = 3?k,


которое следует из условия вхождения решения уравнения (1.13) в 5 %-ю полосу, т. е. совпадения.

В (1.13) выразим ?p через ?e, что позволит свести исходную систему к системе из двух уравнений с двумя неизвестными, т. е. замкнутую систему.

Поток ?r(t), согласно (1.5), состоит из ряда слагаемых, которые представим в следующей форме:


?зп = ?1?e; ?н = ?2?e; ?ос = ?3?e; ?пр = ?4?e,


где ?1, ?2, ?3, ?4 определяют доли, которые составляют от ?e потоки ?s, ?Т, ?са, ?o соответственно.

Следовательно ?r(t) = ??e, где ? = ?1 + ?2 + ?3 + ?4. При этом часть ?e, равная ?p = (1 – ?)?e, идет на компенсацию депозита, т. е. ?g(t) и создание услуг, которые еще не оплачены, т. е. в некотором смысле на кредит, выдаваемый пассажирам под проценты П*.

При этом неравенство ?p > 0 будет характеризовать функционально-экономическую устойчивость системы, поскольку величина ?р характеризует объем средств, вкладываемых в организацию и проведение пассажироперевозок. Из соотношения ?p = (1 – ?)?e > 0 следует неравенство ?e > 0, что также характеризует функционально-экономическую устойчивость.

С учетом принятых допущений и полученных уравнений (1.9), (1.13) система примет вид



Эта система является замкнутой относительно ?e(t) и ?n(t). Одним из управлений служит параметр ?, определяющий долю затрат всех средств, кроме тех, что идут на организацию пассажироперевозок (грузоперевозок). Кроме того, П*(t) включен в управление системой, ее технико-экономическим потенциалом.

Система содержит два параметра ?D и ?k, характеризующие динамические свойства системы, и их следует идентифицировать. После этого система (1.14) будет описывать финансовые потоки изучаемой системы.

1.4. Анализ поведения системы

Сначала проанализируем статически равновесное состояние системы, когда ?n и ?e – постоянные величины. При этом = = 0. Тогда из (1.3) следует, что ?e = ?n, т. е. расход всегда равняется поступлениям, и это будет иметь место, если


(1 – ?)(1+П*) = 1,          (1.15)


или доля расходов ? удовлетворяет условию



Обобщенным параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение ?П. На рис. 1.17 представлен график зависимости (1.16).

Теперь, исключив величину ?n из системы (1.14), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно ?e(t):



Рис. 1.17


После определения величины ?e из уравнения (1.17) неизвестная величина ?n может быть определена из первого уравнения (1.14). Если решение (1.17) получено численно, то для вычисления ?n необходимо использовать третье уравнение из (1.14), поскольку численное дифференцирование ?e приводит к появлению существенных погрешностей.

Если коэффициенты уравнения (1.17) постоянны, то несложно получить его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение


?D?k?2 + (?D + ?k) ? + [1 – (1 – ?)(1 + П*)] = 0,           (1.18)


решения которого



Если равенство (1.15) не выполняется, то в зависимости от величины и знака дискриминанта ? корни ?1,2 будут вещественными или комплексными. Введем следующие обозначения:


a = ?D + ?k; b = 4?D?k [1 – (1 – ?)(1 + П*)].


Тогда А = a2 b.

Величина a, как правило, положительна. Она будет отрицательна, если одна из величин – ?D или ?k – отрицательна, и при этом ?D + ?k < 0. Это означает, что рассматривается процесс не с запаздывающим, а с опережающим аргументом. Например, выданные в кредит деньги возвращаются не после, а до выдачи кредита. Эти и аналогичные им случаи здесь не рассматриваются. Примем, что a > 0 всегда.

Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения величин a2 и b дискриминант ? может иметь разный знак.

Рассмотрим следующие случаи.

При a2 > b дискриминант ? > 0, и оба корня уравнения (1.18) вещественны. В этом случае общее решение уравнения (1.17) имеет вид


?e = exp(–at)[((c1 + c2)/2)exp(ct) + ((c1 c2)/2)exp(–ct)],          (1.20)


где c = = . Постоянные c1 и c2 зависят от начальных данных ?e0 и и параметров системы следующим образом:



Случай b = 0 соответствует равновесному состоянию рассматриваемой системы, при этом выполняется условие (1.15), ? = a2 и ?12 = –a ± a, то есть ?1 = 0, ?2 = –2a. Тогда общее решение (1.20) запишется в виде


?e = (c1 + c2) / 2+((c1c2) / 2)exp(–2at).


Равновесное состояние ?e = (c1 + c2) / 2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c1=c2. Если же c1 ? c2, то в силу того, что a > 0, данное состояние реализуется для больших значений t, при этом


?e ? (c1+c2) / 2,          (1.21)


а при t, стремящемся к бесконечности, условие ?e=(c1+c2) / 2 соблюдается независимо от значений c1 и c2. Таким образом, состояние ?e=(c1+c2) / 2 обладает устойчивостью финансового потока по отношению к начальным возмущениям (рис. 1.18).


Рис. 1.18


При этом независимо от того, какое из неравенств – ?e(0) > (c1+c2) / 2 или ?e(0) < (c1+c2) / 2 – имело место, с увеличением t соотношение (1.21) становится более точным.

Поведение системы меняется при b ? 0. Если при этом условии a > 0 и c > 0, то для больших t, согласно (1.20), имеет место приближенная зависимость ?e(t) ? ((c1+c2) / 2)exp[–(a )t]. Здесь возможны следующие две ситуации: (a) > 0 и (a ) < 0. Условие (a ) > 0 выполняется при b > 0, тогда ?e уменьшается с увеличением t, что говорит о снижении кредитоспособности микроавиационной системы. В противном случае, когда b < 0, кредитоспособность микроавиационной системы с течением времени возрастает (рис. 1.19). Отсюда следует, что условие b=0 при ? > 0 характеризует критическое состояние, разделяющее области увеличения и падения кредитоспособности микроавиационной системы.


Рис. 1.19


При ? < 0 корни характеристического уравнения (1.18) являются комплексными, и общее решение уравнения (1.17) записывается в виде



Постоянные h и ? определяются из начальных условий по формулам



Из (1.22) следует, что в начальный момент времени микроавиационная система является кредитоспособной при выполнении неравенства ?e(0)=hsin? > 0. Однако выполнение этого условия не означает сохранение кредитоспособности микроэкономической системы при любом t > 0. Как следует из (1.22), процесс изменения ?e является колебательным с уменьшением амплитуды во времени (рис. 1.20). Поэтому при t, стремящемся к бесконечности, ?e(t) стремится к 0, что говорит о падении кредитоспособности микроавиационной системы. Кроме того, в силу колебательного характера процесса для некоторых моментов времени tn, n=1,2,…, выполняется условие ?e(tn)=0.

Таким образом, микроавиационная система обладает кредитоспособностью при любом значении t, если b < 0, поскольку при этом параметры банка ? и П* таковы, что (1 – ?)(1+П*) > 1 и ? ? 0. В противном случае кредитоспособность микроавиационной системы со временем падает.


Рис. 1.20


Пример. Пусть при t=0 дано следующее начальное состояние: ?e0=104 руб., =0. Согласно модели, микроавиационная система характеризуется параметрами ?D, ?k, П*, ?. Примем, что поступившие в данный момент времени денежные средства на различные цели полностью израсходуются через 6 суток. Тогда ?D=2 сут. Кредит выдается на 30 суток, тогда ?k=10 сут.

Пусть П=40 %, тогда П*=1/30. Параметр ? рассмотрим как управление. Он определяет долю изымаемых из оборота денег. Выбирая разные значения ?, получим разное поведение финансовых потоков микроавиационной системы. Сначала найдем значение ?, соответствующее равновесному функционированию банка, при котором ?e=?e0=const. Согласно формуле (1.15), найдем ?=П*/(1+П*)=1/31. Таким образом, примерно 3,226 % денег используется в разных целях, а 96,774 % выдается в кредит. При этом микроавиационная система не расширяется, не разоряется, а находится в равновесном состоянии.

Далее рассмотрим два случая: ?=?(1)=0,05 и ?=?(2)=0,01. При этом a=0,3; b=b(1) 0,000917; b=(2) 0,001150. Соответствующие значения корней характеристического уравнения (1.18)


?(1)1 –0,0015; ?(1)2=–0,5985, ?(2)1=–0,6019; ?(2)2=+0,0019.


В первом случае процесс описывается формулой


?e=104(1,0025e–0,0015t  – 0,0025e–0,5985t),


где время t измеряется в сутках. При этом величины ?e, следовательно, ?n – убывающие и стремятся к нулю при t ? ?. Это означает, что микроавиационная система через некоторое время разорится.

Во втором случае процесс описывается функцией


?e=104(0,9918e–0,6019t+0,0032e0,0019t)


Здесь первое слагаемое величины ?e быстро убывает, а второе медленно, но возрастает. Оба слагаемых положительные. Поэтому, хотя вначале величина ?e будет убывать, и состояние микроавиационной системы будет ухудшаться, через некоторое время она начнет расширять свою деятельность. Параметры ?e и ?n будут возрастать.

1.5. Анализ исходной модели

Дополнив соотношения (1.3) дифференциальным уравнением (1.13), получим следующую систему уравнений:



где (1+A)=(1+П*) / ?, ?k(t)=?p(t). Отметим, что при заданном значении ?k(t) система (1.23), состоящая из двух дифференциальных уравнений, содержит три неизвестные функции: D(t), ?n(t), ?e(t), являясь, таким образом, незамкнутой. Это означает, что для ее решения, в частности, необходимо задать ?e(t). Однако в этом случае исключается возможность проведения всестороннего анализа кредитной политики. Поэтому предлагается пойти по следующему пути.

Система (1.23) включает в себя величину ?k(t), т. е. кредитный поток, который может быть реализован по распоряжению руководства микроавиационной системы. При максимальном использовании финансовых ресурсов микроавиационной системы поток ?k(t) включает в себя поток возвратного кредита, а также часть прибыли и имеет, таким образом, следующий вид:


?k(t)=?k(t – ?)+?1A?k(t – ?),


где A?k(t – ?) – прибыль в виде процентов по кредиту, отданных при (t – ?), ?1 – коэффициент, характеризующий ту часть прибыли, которая отдана в кредит в момент времени t. Изменяя коэффициент ?1, можно получать различные значения ?k(t). При этом ?1 < 1, поскольку расходная часть ?e(t) включает в себя и другие компоненты.

Рассмотрим введенные выше коэффициенты ?2, ?3, ?4 и ?5, характеризующие части дохода A?k(t – ?), направленные на формирование финансовых потоков ?зп(t), ?н(t), ?ос(t) и ?пр(t) соответственно, где ?зп(t) – поток заработной платы; ?н(t) – поток налогов; ?ос(t) – поток расходов на развитие основных средств; ?пр(t) – поток средств на прочие расходы.

При этом получим


?k(t)=?k(t – ?)+?1A?k(t – ?); ?зп(t)=?2A?k(t – ?);

?н(t)=?3A?k(t – ?);                                              (1.24)

?ос(t)=?4A?k(t – ?); ?пр(t)=?5A?k(t – ?).


Обозначим через ?=?1+?2+?3+?4+?5. Если вся прибыль направляется в оборот, то ?=1, условие ? < 1 означает, что часть средств отправлена на накопление. В этом случае расходная часть ?e в (1.23) должна включать в себя дополнительную компоненту ?накопл=A?k(t – ?).

Соотношения (1.24) записаны для идеальной ситуации, когда поступившие деньги передаются внешним потребителям без запаздывания. В действительности микроавиационная система, как и любой другой реально функционирующий механизм, исполняет действия с запаздыванием (например, это время, необходимое для обработки документации). Обозначим его через ?0. В общем случае ?0 имеет различные значения при передаче различных составляющих ?e различными службами и отделами микроавиационной системы.

Рассмотрим частный случай, когда величина ?0 неизменна для всех подсистем. При этом соотношения (1.24) примут форму


?k(t)=(1+?1A)?k(t – ?1); ?зп(t)=?2A?k(t – ?1); ?н(t)=?3A?k(t – ?1);

?ос(t)=?4A?k(t – ?1); ?пр(t)=?5A?k(t – ?1),                         (1.25)


где ?1=?+?0. Если при этом выполняется условие ?=1, то неконтролируемых расходов нет. Тогда с учетом полученных зависимостей равенства (1.4) и (1.6) примут вид


?e(t)=?*A?k(t – ?,); ?n(t)=(1+A)?k(t – ?,),          (1.26)


где ?*=?1+(1+?2)+?3+?4+?5 в общем случае не равно двум.

Преобразуем первое уравнение в (1.26). Для этого введем замену s=t – ?1 и разложим ?e(s+?1) в ряд Тейлора. Ограничившись первым членом разложения в силу малости производных более высоких порядков, получим ?e(s+?1)=?e(s)+(s)?1. Тогда



Положим, что кредит выдан на срок, больший, чем одни сутки, запаздывание ?0 по проведению финансовых операций составляет не менее одних суток в силу выбранной системы отсчета. При этом система (1.23) с учетом (1.27) примет следующий вид:



где a1=–1 / ?, a2=–1 / ?1; ? ? 1; ?1 > 1. Система (1.28) содержит три уравнения и три неизвестных: D(t), ?e(t) и ?n(t), являясь, таким образом, замкнутой. В качестве управления выступает поток кредитных средств ?k(t). При заданных начальных условиях D(t0), ?e(t0) и ?n(t0) система (1.28) имеет решение (? ? 0; ?1 ? 0), если она совместна.

Для анализа полученной модели сведем рассматриваемую систему уравнений к одному уравнению третьего порядка



где


Q(t)=B1B2 – (B1a2B2a1)?k; B1=(1 / ?)(1+A);

B2=(1 / ?)1?*A; m1=–(a1+a2); m2=a1a2; m3=0.


С учетом того, что m3=0, m1=const, m2=const запишем это уравнение в форме



или



Проинтегрировав (1.29), получим



где =0; =0. Окончательно имеем



где


Устойчивость полной модели

Применим модель (1.30) для анализа финансового состояния микроавиационной системы. Для этого запишем ее в следующем виде:



где 2n=т1=(?1+?)/??1; k2=m2=1/??1; ?1=?+?0;



Очевидно, что модель (1.31) пригодна для использования в качестве математической модели только в том случае, если она устойчива. Покажем, что это так. Для этого проанализируем состояние микроавиационной системы без влияния внешних воздействий (Q*(t)=0), при этом уравнение (1.31) представим в виде



Это уравнение описывает свободные изменения оборотного капитала D(t) микроавиационной системы. В общем случае при малых начальных возмущениях процесс D(t) может быть либо сходящимся (к D(t0)), что будет означать устойчивость, либо расходящимся – в противном случае.

В соответствии с теорией систем [28, 29] уравнение (1.31) при Q*(t)=0 имеет общее решение D(t)=c1 exp(?1t)+c2 exp(?2t), где ?1 и ?2 – корни характеристического уравнения


?2+2n?+k2=0.


Покажем, что эти корни действительны и различны, т. е. ?1,2=–n ± , где (n2k2) > 0.

С учетом того, что 2n=(2?+?0)/(?(?+?0)) и k2=1/(?(?+?0)), разность n2 k2={?30 : [4?(?+?0)]} > 0, поскольку ? > 1, ?0 ? 1. Кроме того, полученным значениям n и k соответствуют отрицательные собственные значения.

Сказанное говорит об устойчивости системы (1.31) в соответствии с теорией систем. Это означает, что при принятых условиях микроавиационная система устойчива. При этом оборотный капитал микроавиационной системы при ?k(t)=0 останется неизменным, т. е. микроавиационная система, не выделяющая кредиты, не может быть убыточной или прибыльной. При отсутствии прибыли нет и всех тех расходов, которые включены в расходную часть ?e(t). Отметим, что в соответствии с существующим законодательством не все налоги оплачиваются, исходя от прибыли. Это, в свою очередь, означает, что модель (1.31) не совсем верна, поскольку при ?k(t)=0 выполняется условие ?н(t)=0. Для более тщательного анализа необходимо принять ?н(t)=?3A?k(t – ?)+c1, где c1 – постоянная величина, определенная с учетом действующего законодательства.

С учетом сделанных выводов решение (1.31) запишем в виде



где ch(·) и sh(·) – гиперболические косинус и синус соответственно. Первое слагаемое D1(t)=[D0ch(?t)+(+nD0)sh(?t) / ?]ent в терминах теории систем описывает свободные колебания, что для микроавиационной системы означает изменение оборотного капитала. В силу устойчивости системы (1.31) эти изменения удовлетворяют следующим условиям:



С их учетом второе слагаемое D2(t) в (1.32) примет форму


Условия прибыльности и убыточности

Определим, при каких ограничениях, накладываемых на параметры системы, и каких управлениях имеют место:

– прибыльность > 0, где t1 – момент времени, начиная с которого микроавиационная система начала давать прибыль;

– убыточность < 0, где t– момент времени, начиная с которого микроавиационная система стала убыточной;

– крах [Ky(t0)+D(t3)] ? 0, где t– момент времени, начиная с которого капитал Ky(·) за счет оборотных средств D(t3) стал нулевым или отрицательным.

Очевидно, что для различных значений времени микроавиационная система может быть прибыльной либо убыточной до тех пор, пока не произойдет третье событие, означающее разорение микроавиационной системы и прекращение ее существования.

Определим условия, при которых микроавиационная система является прибыльной. Для этого рассмотрим (1.32) и представим при нулевых начальных условиях в виде



Поскольку в данном выражении подынтегральная функция положительна, условие > 0 выполняется, если Q*(?) > 0. Очевидно, при этом Q*(t) > 0 и, следовательно,



Осуществим в последнем неравенстве замену


Q(t)=(B1 B2)(t) – (B1a2B2a1)?k(t),


при этом получим неравенство



Задача анализа прибыльности микроавиационной системы заключается, таким образом, в выборе такой совокупности параметров ?k(t), ?, ?0, P1, ?1, ?2, ?3, ?4, ?5, при которой выполняется условие (1.33).



скачать книгу бесплатно

страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26