скачать книгу бесплатно
Высшая математика. Шпаргалка
Аурика Луковкина
Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.
Высшая математика. Шпаргалка
1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение
Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.
Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координатО, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.
Рис. 1
Системы координат
Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.
Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.
Полярная система координат состоит из полюса О и полярной осиОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ? (отрезок ОМ) и полярным углом?. Для полярного угла берется его главное значение (от –? до ?). Числа ?, ? называются полярными координатами точки М.
Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cos?, y = r sin? или:
Пусть имеются две точки М
(х
, у
) и М
(х
, у
). Расстояние между точками:
Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).
Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.
2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой
1. Пусть даны три точки А
(х
, у
), А
(х
, у
), А
(х
, у
), тогда условие нахождения их на одной прямой:
либо (х
– х
) (у
– у
) – (х
– x
) (у
– у
) = 0.
2. Пусть даны две точки А
(х
, у
), А
(х
, у
), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:
(х
– х
)(у – у
) – (х – х
)(у
– у
) = 0 или (х – х
) / (х
– х
) = (у – у
) / (у
– у
).
3. Пусть имеются точка М (х
, у
) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:
у – у
= а(х – х
).
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х
) + В(у – у
) = 0.
Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямойLчерез данную точкуМ:
у – у
= –(х – х
) / а
или
а(у – у
) = х
– х.
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х
, у
), описывается уравнением А (у – у
) – В(х – х
) = 0.
4. Пусть даны две точки А
(х
, у
), А
(х
, у
) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:
1) точки А
, А
лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах
+ Ву
+ С) и (Ах
+ Ву
+ С) имеют одинаковые знаки;
2) точки А
, А
лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах
